Identidades trigonométricas

As identidades trigonométricas são relações entre funções trigonométricas. A tangente e a identidade fundamental são os principais exemplos dessas relações, existindo, ainda, as funções secante, cossecante e cotangente.

Leia também: Transformações trigonométricas — as fórmulas que facilitam o cálculo de algumas razões trigonométricas

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre identidades trigonométricas
• 2 - Quais são as identidades trigonométricas?
• 3 - Demonstrações das identidades trigonométricas
  • → Demonstração da tangente
  • → Demonstração da identidade fundamental da trigonometria
• 4 - Outras identidades trigonométricas
• 5 - Exercícios resolvidos sobre identidades trigonométricas

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Resumo sobre identidades trigonométricas

• As identidades trigonométricas são igualdades que relacionam funções trigonométricas.
• Os principais exemplos de identidades trigonométricas são a tangente e a identidade fundamental.
• A tangente de um ângulo  é igual à razão entre o seno de  e o cosseno de Â, desde que cos não seja nulo.
• A identidade fundamental da trigonometria determina que a soma entre o quadrado do seno de um ângulo  e o quadrado do cosseno de  é 1.
• Outros exemplos de identidades trigonométricas são as funções secante, cossecante e cotangente.

Quais são as identidades trigonométricas?

As identidades trigonométricas são igualdades que associam funções trigonométricas. As principais são a tangente (tan) e a identidade fundamental da trigonometria:

• Tangente: a tangente de um ângulo θ é igual à razão entre o seno de θ e o cosseno de θ, em que cos θ≠0:

$tan\ \theta=\frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}$

• Identidade fundamental da trigonometria: também conhecida como identidade de Pitágoras, estabelece uma relação entre o seno e o cosseno de um ângulo θ. De acordo com essa identidade, a soma entre $\left(sen\ \theta\right)^2 e \left(cos\ \theta\right)^2$ é igual a 1. Escrevendo $\left(sen\ \theta\right)^2=sen^2\ \theta$ e $\left(cos\ \theta\right)^2=cos^2\ \theta$, temos que:

$sen^2\ \theta\ +\ cos^2\ \theta\ =1$

Como aplicar as identidades trigonométricas?

Podemos aplicar as identidades trigonométricas quando, para certo ângulo θ, desconhecemos o valor de uma das funções.

• Exemplo 1

Utilizando as aproximações sen 40°≈0,643 e cos 40°≈0,766, determine o valor de tan 40° com três casas decimais.

Resolução:

Utilizando a identidade trigonométrica da tangente:

$tan\ 40°=\frac{sen 40°}{cos 40°}$

$tan\ 40°=\frac{0,643}{0,766}$

$tan\ 40°=0,839$

• Exemplo 2

Se θ é um ângulo do segundo quadrante e sen θ≈0,956, encontre o valor de cos θ com três casas decimais.

Resolução:

Utilizando a identidade fundamental da trigonometria:

$sen^2\ \theta+cos^2\ \theta=1$

$\left(0,956\right)^2+cos^2\theta=1$

$0,913936+cos^2\theta=1$

$cos^2\theta=0,086064$

$cos\ \theta=\pm\sqrt{0,086064}$

Como θ é um ângulo do segundo quadrante, então o valor do cos θ é negativo, portanto:

$cos\ \theta=-\ \sqrt{0,086064}$

$cos\ \theta=-0,293$

Demonstrações das identidades trigonométricas

→ Demonstração da tangente

A demonstração da identidade trigonométrica $tan\ \theta=\frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}$ segue da definição de tangente na circunferência trigonométrica de raio 1.

Observe que as coordenadas de P são x=cos θ e y=sen θ. Por definição, $tan\ \theta=\frac{y}{x}$, assim:

$tan\ \theta=\frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}$

→ Demonstração da identidade fundamental da trigonometria

A demonstração da identidade trigonométrica sen² θ + cos² θ = 1 também se baseia na circunferência trigonométrica. Na imagem anterior, observe que o triângulo ABP é retângulo em B e que AB=cos θ, BP=sen θ e AP=1. Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, concluímos que:

$sen^2\ \theta+cos^2\ \theta=1$

Outras identidades trigonométricas

As funções secante (sec), cossecante (cossec ) e cotangente (cotan) também são exemplos de identidades trigonométricas:

$sec\ \theta=\frac{1}{cos\ \theta}$

$cossec\ \theta=\frac{1}{sen\ \theta}$

$cotan\ \theta=\frac{1}{tan\ \theta}=\frac{cos\ \theta}{sen\ \theta}$

Associando essas funções com a identidade de Pitágoras, podemos construir outras identidades trigonométricas:

$sec^2\theta=1+tan^2\ \theta$

$cossec^2\theta=1+cotan^2\ \theta$

Saiba mais: Aplicações trigonométricas na Física

Exercícios resolvidos sobre identidades trigonométricas

Questão 1

Considere que cos θ≠1. Assim, a expressão $\frac{sen^2\ \theta}{1-cos\ \theta}$ é igual a qual alternativa?

A) cos θ

B) 1 + cos θ

C) sen θ

D) 1 + sen θ

E) tan θ

Resolução

Alternativa B

Reescrevendo a identidade trigonométrica fundamental, temos que $sen^2\theta=1-cos^2\theta$. Assim:

$\frac{sen^2\theta}{1-cos\ \theta}=\frac{1-cos^2\theta}{1-cos\ \theta}$

Como $1=1^2$, podemos reescrever o numerador:

$1-cos^2\theta=1^2-cos^2\theta=\left(1-cos\ \theta\right).\left(1+cos\ \theta\right)$

Portanto:

$\frac{1-cos^2\ \theta}{1-cos\ \theta}=\frac{\left(1-cos\ \theta\right).\left(1+cos\ \theta\right)}{\left(1-cos\ \theta\right)}\ =\ 1\ +\ cos\ \theta$

Questão 2

Se sen θ≠0 e cos θ≠0, determine o valor de a=sec θ ∙ cos θ + cossec θ ∙ sen θ.

Resolução

Substituindo sec $\theta=\frac{1}{cos\ \theta}$ e cossec $\theta=\frac{1}{sen\ \theta}$ na expressão de a, temos que:

$a=\ \frac{1}{cos\ \theta}\cdot cos\ \theta+\ \frac{1}{sen\ \theta}\cdot seno\ \theta=1+1=2$

Logo, a=2

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática