Produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem cinco produtos notáveis mais relevantes: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.
Quadrado da soma
Os produtos entre polinômios conhecidos como quadrados da soma são os do tipo:
(x + a)(x + a)
O nome quadrado da soma é dado porque a representação por potência desse produto é a seguinte:
(x + a)2
A solução desse produto notável sempre será o polinômio a seguir:
(x + a)2 = x2 + 2xa + a2
Esse polinômio é obtido por meio da aplicação da propriedade distributiva da seguinte maneira:
(x + a)2 = (x + a)(x + a) = x2 + xa + ax + a2 = x2 + 2xa + a2
O resultado final desse produto notável pode ser usado como fórmula para qualquer hipótese em que houver uma soma elevada ao quadrado. Geralmente, esse resultado é ensinado da seguinte maneira:
O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Exemplo:
(x + 7)2 = x2 + 2x7 + 49 = x2 + 14x + 49
Observe que esse resultado é obtido pela aplicação da propriedade distributiva em (x + 7)2. Portanto, a fórmula é obtida a partir da propriedade distributiva sobre (x + a)(x + a).
Quadrado da diferença
O quadrado da diferença é o seguinte:
(x – a)(x – a)
Esse produto pode ser escrito da seguinte maneira por meio da notação de potências:
(x – a)2
O seu resultado é o seguinte:
(x – a)2 = x2 – 2xa + a2
Perceba que a única diferença entre os resultados do quadrado da soma e da diferença é um sinal negativo no termo do meio.
Geralmente, esse produto notável é ensinado da seguinte maneira:
O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.
Produto da soma pela diferença
É o produto notável que envolve um fator com uma soma e outro com uma subtração. Exemplo:
(x + a)(x – a)
Não há representação em forma de potência para esse caso, mas sua solução sempre será determinada pela seguinte expressão, também obtida com a técnica do quadrado da soma:
(x + a)(x – a) = x2 – a2
Como exemplo, vamos calcular (xy + 4)(xy – 4).
(xy + 4)(xy – 4) = (xy)2 – 162
Esse produto notável é ensinado da seguinte maneira:
O quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Cubo da soma
Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato:
(x + a)(x + a)(x + a)
Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira:
(x + a)3
Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
Assim, em vez de fazer um cálculo extenso e cansativo, podemos calcular (x + 5)3, por exemplo, facilmente da seguinte maneira:
(x + 5)3 = x3 + 3x25 + 3x52 + 53 = x3 + 15x2 + 75x + 125
Cubo da diferença
O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios:
(x – a)(x – a)(x – a)
Por meio da propriedade distributiva e simplificando os resultados, encontraremos o seguinte resultado para esse produto:
(x – a)3 = x3 – 3x2a + 3xa2 – a3
Vamos calcular como exemplo o seguinte cubo da diferença:
(x – 2y)3
(x – 2y)3 = x3 – 3x22y + 3x(2y)2 – (2y)3 = x3 – 3x22y + 3x4y2 – 8y3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática