O conjunto dos números racionais é formado por todos os elementos que podem ser escritos na forma de fração. Assim, se o número pode ser representado por uma fração, então ele é um número racional.
Para compreender bem a definição de números racionais e todas as possibilidades que essa definição e esse conjunto numérico envolvem, é preciso lembrar da definição de fração, que será discutida a seguir.
O que é fração?
Uma fração é uma divisão entre números inteiros, representada da seguinte maneira:
a
b
Assim, para que seja uma fração, os números “a” e “b” precisam ser inteiros e o número “b” sempre será diferente de zero.
Definição formal de número racional
A partir da definição de frações, o conjunto dos números racionais pode ser representado da seguinte maneira:
Nessa definição, dizemos que o conjunto dos números racionais é composto por todas as frações de “a” por “b”, em que “a” é um número inteiro e “b” é um número inteiro diferente de zero.
Números que podem ser escritos na forma de fração
Sabendo que o conjunto dos racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração, para mostrar que um número é racional, basta mostrar que existe uma maneira de escrevê-lo nessa forma. Podem ser escritos como uma fração os seguintes números:
1 – As próprias frações
Qualquer fração é um número racional, pois naturalmente já está escrita na forma necessária para isso.
2 – Os números inteiros
Qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de fração. Para tanto, basta dividi-lo por 1, pois todo número dividido por 1 é igual a si mesmo.
O número – 7, por exemplo, é inteiro. Para escrevê-lo na forma de fração, basta fazer:
– 7
1
Note que todas as frações equivalentes a essa são outra forma de escrever – 7 na forma de fração.
3 – Decimais finitos
Qualquer decimal finito, ou seja, que possui um número limitado de casas decimais, pode ser escrito na forma de fração. Para isso, basta lembrar que todo decimal finito é resultado de uma divisão por alguma potência de base 10.
Exemplo: 2,455 é um decimal finito que possui três casas decimais. Isso significa que uma das frações equivalentes a ele possui denominador igual a 103. Essa fração é:
2,455 = 2455
103
Dessa maneira, elimina-se a vírgula e divide-se esse número por uma potência de base 10 e expoente igual ao número de casas decimais.
4 – Dízimas periódicas
Uma dízima periódica é um decimal infinito em que existe um período, ou seja, uma repetição dentro dos decimais. Exemplo:
1,3333….
é uma dízima periódica de período 3.
1,454545…
é uma dízima periódica de período 45.
0,4562626262…
é uma dízima periódica de período 62 e antiperíodo 45.
Uma dízima periódica sempre pode ser escrita na forma de fração. Para isso, tome o exemplo da dízima 2,565656…
Perceba que o período dessa dízima é 56, ou seja, existem dois algarismos no seu período. Iguale essa dízima a x e multiplique essa equação por 102. Note que o expoente da potência de base 10 sempre será igual ao número de algarismos no período.
x = 2,565656…
100x = 256,5656…
Agora, subtraia a primeira equação da segunda:
100x – x = 256,5656… – 2,565656…
Observe que a parte decimal a ser subtraída é igual, portanto, as partes decimais terão resultado zero nessa subtração. Logo:
99x = 256 – 2
99x = 254
Resolvendo a equação, encontraremos a fração geratriz:
99x = 254
x = 254
99
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática