Os múltiplos de um número inteiro são um conjunto cujos elementos são obtidos após a multiplicação desse número fixo por todos os números inteiros. Uma vez fixado um número inteiro e multiplicando-o por todos os inteiros, formaremos um subconjunto desses números, pois todo elemento desse conjunto dos múltiplos também é elemento do conjunto dos números inteiros.
Leia também: Propriedades da multiplicação que facilitam o cálculo mental
Múltiplos de um número inteiro
Considere dois números inteiros conhecidos, p e q. O número p será múltiplo de q se, e somente se, existir um número inteiro m, de forma que:
p = q · m
Dessa forma, o conjunto dos múltiplos do número p pode ser obtido multiplicando-se p por todos os números inteiros, os resultados dessa operação serão os múltiplos de p.
Exemplo
Os 15 primeiros múltiplos de 3.
Para determinar esse conjunto, basta multiplicar os 15 primeiros números inteiros por 3.
3 · 1 = 3
3 · 2 = 6
3 · 3 = 9
3 · 4 = 12
3 · 5 = 15
3 · 6 = 18
3 · 7 = 21
3 · 8 = 24
3 · 9 = 27
3· 10 = 30
3 · 11 = 33
3 · 12 = 36
3 · 13 = 39
3 · 14 = 42
3 · 15 = 45
Assim, os 15 primeiros múltiplos de 3 são:
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45}
Veja que encontramos somente os 15 primeiros múltiplos de 3. Como temos que multiplicar o 3 por todos os números inteiros, o conjunto dos múltiplos é infinito.
Como verificar se um número é múltiplo de outro?
Para verificar se um número é múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de tal maneira que a multiplicação entre eles seja igual ao primeiro número. Veja:
Exemplos
a) Para verificar se o número 110 é múltiplo de 11, devemos buscar um número inteiro, que, multiplicado por 11, resulte em 110. Caso ele exista, o número 110 será múltiplo de 11, caso contrário, não o será.
110 = 11 · 10
b) O número 143 é múltiplo de 12?
O número 143 não é múltiplo de 12, uma vez que:
132 = 12 · 11
144 = 12 · 12
Veja que não existe número inteiro entre 11 e 12, logo, não existe número que, quando multiplicado por 12, resulte em 143, portanto, o número 143 não é múltiplo de 12.
Veja também: Múltiplos e divisores: o que são e como os encontrar?
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Escreva todos os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15.
Resolução
Sabemos que os múltiplos de 15 são os resultados da multiplicação do número 15 por todos os inteiros. Como o exercício pede para escrever os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15, demos multiplicar o número 15 por todos os números maiores que zero até encontrar o maior múltiplo antes de 100, assim:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Portanto, os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15 são:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
Questão 2 – Qual o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001?
Resolução
Para determinar o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001, basta determinar o primeiro múltiplo de 5 de trás para frente.
1001 não é múltiplo de 5, pois não existe inteiro que, multiplicado por 5, resulte em 1001.
1000 é múltiplo de 5, pois 1000 = 5 · 200.
Portanto, o maior múltiplo de 5, entre 100 e 1001, é o número1000.
Por Robson Luiz
Professor de Matemática