Cônicas são figuras geométricas planas definidas a partir da intersecção de um cone duplo de revolução com um plano. As figuras que podem ser obtidas nessa intersecção, e que podem ser chamadas de cônicas, são: circunferência, elipse, parábola e hipérbole.
O cone duplo de revolução é conseguido com o giro de uma reta r sobre um eixo, que, por sua vez, é outra reta concorrente à reta r. A imagem a seguir mostra a reta que foi girada, o eixo e a figura obtida a partir dessa revolução.
Todas as definições das cônicas são baseadas na distância entre dois pontos, que pode ser encontrado no plano por meio do teorema de Pitágoras.
Circunferência
Dado um ponto C e um comprimento fixo r, todo ponto que está a uma distância r do ponto C é um ponto da circunferência. O ponto C é chamado de centro da circunferência e r é seu raio. A seguinte imagem mostra um exemplo de circunferência e a forma que ela assume no plano cartesiano:
Dadas as coordenadas do ponto C (a, b), as coordenadas do ponto P (x, y) e o comprimento do segmento r, a equação reduzida da circunferência é:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Elipse
Dados dois pontos F1 e F2 do plano, chamados de focos, a elipse é o conjunto dos pontos P, tais que a soma da distância de P a F1 com a distância de P a F2 é a constante 2a. A distância entre os pontos F1 e F2 é 2c e 2a > 2c.
Comparando as definições de elipse e circunferência, na elipse, somamos as distâncias que vão de um ponto da elipse até seus focos e observamos o resultado constante. Na circunferência, apenas uma distância é constante.
A imagem a seguir mostra um exemplo de elipse e a forma dessa figura no plano cartesiano:
Nessa figura, pode-se observar os segmentos a, b e c, que serão usados para determinar as equações reduzidas da elipse.
Existem duas versões da equação reduzida da elipse; a primeira é válida para quando os focos estão sobre o eixo x de um plano cartesiano e o centro da elipse coincide com a origem:
x2 + y2 = 1
a2 b2
A segunda versão é válida para quando os focos estão sobre o eixo y e o centro da elipse coincide com a origem:
y2 + x2 = 1
a2 b2
Parábola
Dada uma reta r, chamada de diretriz, e um ponto F, chamado de foco, ambos pertencentes ao mesmo plano, uma parábola é o conjunto de pontos P, tais que a distância entre P e F seja igual à distância entre P e r.
A figura a seguir mostra um exemplo de parábola:
O parâmetro de uma parábola é a distância entre o foco e a diretriz, e essa medida é representada pela letra p. Também existem duas versões para a equação reduzida da parábola. A primeira é válida quando o foco está sobre o eixo x:
y2 = 2px
A segunda é válida quando o foco está sobre o eixo y:
x2 = 2py
Hipérbole
Dados dois pontos distintos F1 e F2, chamados de focos, de um plano qualquer, e a distância 2c entre esses pontos, um ponto P pertencerá à hipérbole se a diferença entre a distância de P até F1 e a distância de P a F2, em módulo, for igual a uma constante 2a. Assim:
|PF1 – PF2| = 2a
A imagem a seguir é uma hipérbole com os segmentos a, b e c.
A hipérbole também possui duas versões de equação reduzida. A primeira é referente aos casos em que os pontos F1 e F2 estão sobre o eixo x e o centro da hipérbole é a origem do plano cartesiano.
x2 - y2 = 1
a2 b2
O segundo caso é para quando os focos da hipérbole estão sobre o eixo y e seu centro coincide com a origem do plano cartesiano.
y2 - x2 = 1
a2 b2
Por Luiz Paulo Moreira
Professor de Matemática