Quando é necessário relacionar um lado a um ângulo de um triângulo retângulo a fim de encontrar as medidas de um de seus lados ou de um de seus ângulos, podemos usar as relações trigonométricas: seno, cosseno e tangente. É possível calcular também a medida de um dos lados ou de um dos ângulos de um triângulo qualquer, isto é, não necessariamente de um triângulo retângulo. Para isso, um dos métodos utilizados é a lei dos senos.
Lei dos senos
Considere como exemplo o triângulo ABC, inscrito em uma circunferência de raio r.
Em um caso como esse, os lados e ângulos possuem medidas quaisquer. Assim, temos:
a = b = c = 2r
senα senβ senθ
Nesse triângulo, a, b e c são as medidas de seus lados; α, β e θ são seus ângulos internos, e os senos desses ângulos têm os mesmos valores dos senos encontrados nas tabelas trigonométricas.
Na primeira fração, a é a medida do lado oposto ao senα; na segunda fração, b é a medida do lado oposto ao senβ, e, na terceira fração, note que c é a medida do lado oposto ao senθ. Portanto, existe uma proporção entre as razões formadas pela medida de um lado e o seno do ângulo oposto a essa medida.
Note também que cada uma dessas razões é igual ao diâmetro da circunferência que circunscreve o triângulo.
Na maioria das vezes em que for necessário calcular a medida de um lado de um triângulo, conhecendo as medidas de um ângulo oposto a ele, de outro lado e do ângulo oposto a esse outro lado, devemos usar a lei dos senos. Essa lei também pode ser usada para descobrir a medida de um dos ângulos de um triângulo, caso conheçamos as medidas de outro ângulo e dos lados opostos a esses dois ângulos.
Exemplos
1 – Calcule a medida do lado AB no triângulo a seguir.
Observe que o lado AB, representado por x, é oposto ao ângulo de 45°, e o lado CB, que mede 10 cm, é oposto ao ângulo de 30°. Assim, podemos usar a lei dos senos:
a = b
senα senβ
x = 10
sen45 sen30
Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:
x·sen30 = 10·sen45
Na tabela dos valores trigonométricos notáveis, sen45 = √2/2 e sen30 = 1/2. Substituindo esses valores, temos:
x = 10√2
2 2
x = 10√2 cm
2 – Calcule a medida do lado CB no triângulo a seguir.
O lado CB, representado por x, é oposto ao ângulo de 45°. Observe também que o lado AB, que mede 10 cm, é oposto ao ângulo de 120°. Usando a lei dos senos, podemos escrever:
a = b
senα senβ
x = 10
sen45 sen120
x·sen120 = 10·sen45
Para continuar, lembre-se de que senx = sen(180 – x), portanto: sen120 = sen(180 – 120) = sen60. Substituindo o valor, temos:
x·sen60 = 10·sen45
x·√3 = 10·√2
2 2
x·√3 = 10·√2
x = 10·√2
√3
x = 10√3√2
3
x = 10√6
3
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática