Trigonometria é uma palavra de origem grega que remete à medida de três ângulos. Os estudos dessa área da Matemática voltam-se para os triângulos, que são polígonos que possuem três lados e, consequentemente, três ângulos. Em um primeiro momento, a trigonometria ocupa-se de estudar algumas propriedades e relações dos triângulos retângulos para posteriormente relacionar as medidas dos lados dos triângulos com as medidas dos ângulos.
Essas propriedades e relações são expandidas para triângulos quaisquer por meio dos teoremas conhecidos como lei dos senos e lei dos cossenos. Posteriormente, alguns desses resultados são observados em triângulos cujos lados são segmentos notáveis de um círculo, que fica conhecido como “círculo trigonométrico”.
A trigonometria propõe uma grande novidade. Antes dela só era possível considerar cálculos e propriedades que envolvessem exclusivamente lados ou exclusivamente ângulos de um triângulo ou relações básicas entre esses elementos. Com a sua chegada, é possível relacionar diretamente as medidas de lados de um triângulo com a medida de um de seus ângulos. Vale ressaltar que as relações entre os lados e segmentos notáveis dentro de um triângulo também compõem a trigonometria.
Antes de aprofundar o conceito de trigonometria, é importante saber quais são os elementos mais importantes em um triângulo retângulo. Esses elementos estão expostos a seguir:
Elementos de um triângulo retângulo
Todo triângulo retângulo pode ser subdividido em outros dois triângulos retângulos, conforme a figura abaixo, traçando a altura “h” relativa à base “a”.
A altura desse triângulo retângulo forma dois ângulos de 90° com sua base
Considerando o triângulo ABD, retângulo em B, é possível observar os seguintes elementos:
1 – Os lados AB e BD são chamados de catetos e suas medidas são c e b, respectivamente;
2 – O lado AD é chamado de hipotenusa e sua medida é a. Esse lado sempre será oposto ao ângulo de 90°;
3 – BE é a altura do triângulo ABD relativa à base AD e sua medida é h. (lembrando que a altura sempre forma ângulo de 90° com a base relativa a ela);
4 – AE é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa. Sua medida é m;
5 – ED é a projeção ortogonal do cateto BD sobre a hipotenusa. Sua medida é n.
A seguir, apresentamos e discutimos algumas propriedades vistas na trigonometria, tendo como base os elementos do triângulo retângulo expostos anteriormente.
Relações métricas no triângulo retângulo
São igualdades que relacionam lados, altura e projeções ortogonais de um triângulo retângulo:
1) c2 = m·a
2) b·c = a·h
3) h2 =m·n
4) b2 = n·a
5) a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)
Relações ou razões trigonométricas no triângulo retângulo
Essas igualdades relacionam razões entre os lados de um triângulo retângulo com um de seus ângulos agudos. Para tanto, é necessário fixar um dos dois ângulos e observar, no triângulo retângulo, as definições de cateto oposto e cateto adjacente:
Triângulo retângulo, com destaque para o ângulo α
BD é o cateto oposto ao ângulo α;
AB é o cateto adjacente ao ângulo α.
Esses são os pré-requisitos para definir as razões trigonométricas. São elas:
→ Seno de α
sen α = Cateto oposto a α
Hipotenusa
→ Cosseno de α
cos α = Cateto adjacente a α
Hipotenusa
→ Tangente de α
tg α = Cateto oposto a α
Cateto adjacente a α
Essas razões valem para qualquer triângulo retângulo que possua um ângulo agudo igual a α. O resultado dessas divisões sempre é o mesmo, independentemente do comprimento do lado do triângulo, pois dois triângulos que possuem dois ângulos iguais, em virtude da semelhança de triângulos ângulo-ângulo, têm lados proporcionais. Daí segue que a razão entre os lados é igual.
Círculo trigonométrico
Também chamado de ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica (nomes mais corretos, mas menos usuais), trata-se de uma circunferência orientada de raio 1. Nessa circunferência, é construído um triângulo retângulo, cujo ângulo α coincide com a origem, de modo que a altura desse triângulo vai do eixo das abcissas até a borda do círculo.
Essa altura coincide com o valor de seno, por ser o cateto oposto ao ângulo α. Já a medida que vai do ponto de encontro da altura com o eixo das abcissas até a origem coincide com o cateto adjacente ao ângulo α, isto é, com o valor do cosseno.
Essas coincidências ocorrem porque a hipotenusa é sempre 1, pois ela é o raio do círculo. Observe essas propriedades na imagem abaixo:
Círculo de raio 1, no qual é colocado um triângulo retângulo para avaliar suas propriedades
Qualquer que seja o triângulo retângulo construído nesse círculo, o cateto que coincide com uma parte do eixo das abcissas mede exatamente o valor do cosseno de α e o outro cateto mede exatamente seno de α.
Funções trigonométricas
Utilizando o círculo trigonométrico, é possível definir funções trigonométricas que relacionam cada elemento do conjunto dos números reais a um único elemento também do conjunto dos números reais. Contudo, esses números são expressos em radianos, que é uma unidade de medida em função de π utilizada porque, após 360° no círculo trigonométrico, a contagem de graus e, consequentemente, dos elementos do domínio e contradomínio de uma função com base nele pode ser reiniciada do zero.
Relações fundamentais
As relações fundamentais da trigonometria são:
Sen2α + cos2α = 1
2) Tangente de α
tg α = sen α
cos α
3) Cotangente de α, que é o inverso da tangente de α
cotg α = cos α
sen α
4) Secante de α, que é o inverso do cosseno de α
sec α = 1
cos α
5) Cossecante de α, que é o inverso do seno de α
cossec α = 1
sen α
6) Relação decorrente 1
tg2α + 1 = sec2α
7) Relação decorrente 2
cotg2α + 1 = cossec2α
8) Relação recorrente 3
cotg α = 1
tg α
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática