Uma razão é uma divisão entre dois números que pode ser representada pela notação usual da divisão, por meio de uma fração ou por meio de um número racional, resultado dessa divisão. Quando duas razões são iguais, elas são chamadas de proporção. Uma das propriedades das proporções é chamada de fundamental e garante que uma igualdade entre razões é equivalente a uma igualdade entre produtos.
Propriedade fundamental das proporções
Suponha que os números representados pelas letras “x”, “y”, “t” e “z” formem uma proporção. Por essa razão, é possível escrevê-los na forma de igualdade entre razões, bastando, para isso, seguir a ordem em que foram apresentados:
x = t
y z
Observe que essa mesma proporção também pode ser escrita na seguinte forma:
x:y = t:z
Essa forma é a notação usual das divisões. Usando essa notação, os números representados por “x” e por “z” estão nos extremos da proporção e os números representados por “y” e “t” ocupam a posição central dessa proporção. Utilizando esses dados, a propriedade fundamental das proporções pode ser enunciada da seguinte maneira:
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Assim, a proporção:
x = t
y z
É equivalente a:
x·z = y·t
A partir dessas igualdades, é possível fazer algumas variações dessa propriedade, levando em conta que podemos inverter a igualdade sem modificar o seu valor, ou mudar a ordem dos fatores sem alterar o produto. Essas operações geram o restante das propriedades das proporções, que são outras formas de organizá-las.
Uso da propriedade fundamental das proporções
Uma proporção é formada por quatro números. É possível encontrar um desses números se os outros três forem conhecidos. Para tanto, basta utilizar a propriedade fundamental das proporções, reescrevendo-a como igualdade de produtos, e tratar esse resultado como uma equação comum.
Por exemplo, observe a seguinte proporção:
10 = x
20 60
Utilizando a propriedade fundamental das proporções e tratando o resultado como uma equação comum, teremos:
10·60 = 20x
600 = 20x
– 20x = – 600(– 1)
20x = 600
x = 600
20
x = 30
Esse procedimento é conhecido como regra de três.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática