O que é potenciação?

A potenciação é uma operação matemática. Utilizamos a potenciação para indicar multiplicações consecutivas de um mesmo fator. Por exemplo, 3⁵  representa 5 multiplicações do número 3, o que resulta em 243. Dizemos que 3 é a base, 5 é o expoente e 243 é a potência.

Neste texto descobriremos como calcular qualquer potência e como utilizar as principais propriedades de potenciação para simplificar cálculos. Além disso, conheceremos alguns casos particulares da potenciação, que exigem atenção especial.

Leia também: Radiciação — a operação inversa à potenciação

Videoaula sobre potenciação

Propriedades da potenciação 

Vejamos cinco das principais propriedades de potenciação.

• Multiplicação de potências de mesma base

Seja x um número real, assim x^m e xⁿ são duas potências de mesma base. Calcular o produto  e calcular a potência  levam ao mesmo resultado, ou seja:

Exemplo:

Observe que:

Além disso:

Dessa forma, e  resultam em 128.

• Divisão de potências de mesma base

Seja x um número real, assim x^m e xⁿ são duas potências de mesma base. Calcular o quociente  e calcular a potência x^m-n levam ao mesmo resultado, ou seja:

Exemplo:

Observe que:

Além disso:

Dessa forma,  e  resultam em 27.

• Potência de potência

Seja x um número real, assim  é uma potência e  é uma potência de potência.

Calcular primeiro a potência  e elevar ao expoente n  e calcular a potência xm.n  levam ao mesmo resultado, ou seja:

Exemplo:

Observe que:

Além disso:

Dessa forma, e  resultam em 4096.

Cuidado: Existe diferença entre  e . No primeiro caso, a potência  possui n  como expoente. No segundo caso, n é expoente apenas de m . Compare:

• Potência de produto

Sejam x e y números reais, assim,  é a potência de um produto.

Calcular primeiro o produto  e elevar ao expoente n  e calcular o produto entre as potências  e  levam ao mesmo resultado, ou seja:

Exemplo:

Observe que:

Além disso:

Dessa forma,  e  resultam em 1000.

• Potência de quociente

Sejam x e y números reais, assim é a potência de um quociente.

Calcular primeiro o quociente e elevar ao expoente n  e calcular o quociente entre as potências  e  levam ao mesmo resultado, ou seja:

Exemplo:

Observe que:

Além disso:

Dessa forma,  e  resultam em 16.

Leia também: Potências de base — tipo de potência muito comum em cálculos na Física

Como calcular as potências?

Para calcular uma potência, devemos resolver multiplicações sequenciais entre um mesmo fator. Lembre-se que a base indica o número que será multiplicado e o expoente indica quantas vezes devemos multiplicar esse número.

Exemplos:

Casos particulares de potenciação

• Expoente unitário

Seja x um número real, então x¹ indica uma multiplicação de x, portanto, uma potência com expoente 1 resulta no valor da base.

Dessa forma:

Exemplos:

• Expoente zero

Seja x um número real, então:

Parece estranho ou sem sentido? Vamos analisar um exemplo com x=3 .

Exemplo:

Observe a imagem abaixo, que apresenta diferentes expoentes para a base 3. Pela definição de potenciação (uma multiplicação de fatores iguais), se a cada linha aumentamos 1 no expoente, devemos incluir um fator 3 multiplicando. Portanto, para que o padrão seja mantido,   deve ser o triplo de , logo, .

• Expoente negativo

Seja x um número real, e estendendo a análise do item anterior, podemos concluir que  é o inverso multiplicativo de x , ou seja:

Exemplos:

• Expoente fracionário

Seja x um número real, então xmn  indica uma raiz de índice n  e radicando xm , ou seja:

Exemplos:

Como se lê uma potência?

Se o expoente for 2, lemos que a base está elevada ao quadrado ou à potência 2 ou à segunda potência.

Se o expoente for 3, lemos que a base está elevada ao cubo ou à potência 3 ou à terceira potência.

Para expoente n qualquer, lemos que a base está elevada à enésima potência.

Exemplos:

• 3²  — três ao quadrado; três elevado ao quadrado; três elevado à segunda potência.
• 5³  — cinco ao cubo; cinco elevado ao cubo; cinco elevado à terceira potência.
• 7⁹  — sete elevado à nona potência.

Diferenças entre radiciação e potenciação

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Enquanto na potenciação partimos da multiplicação dos fatores para obter a potência, na radiciação partimos da potência (ou seja, do resultado da potenciação) para encontrar os fatores.

Assim, dizer que  significa dizer que . Por exemplo, ,  pois

Leia também: Como resolver expressões numéricas

Exercícios resolvidos sobre potenciação

Questão 1

(Enem PPL 2021) A imagem representa uma calculadora científica com duas teclas destacadas. A tecla A eleva ao quadrado o número que está no visor da calculadora, e a tecla B extrai a raiz cúbica do número apresentado no visor:

Uma pessoa digitou o número 8 na calculadora e em seguida apertou três vezes a tecla A e depois uma vez a tecla B.

A expressão que representa corretamente o cálculo efetuado na calculadora é:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Resolução:

Apertar três vezes a tecla A significa calcular . Perceba que essa expressão envolve potência de potência. Assim, aplicando a propriedade:

Apertar uma vez a tecla B significa calcular  .

Alternativa B

Questão 2

(UFRGS) Por qual potência de 10 deve ser multiplicado o número  para que esse produto seja igual a 10?

a) 10⁹

b) 10¹⁰

c) 10¹¹

d) 10¹²

e) 10¹³

Resolução:

Como o produto possui potências de mesma base, podemos aplicar a propriedade:

Perceba que:

Alternativa E

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática