A hipérbole é uma figura geométrica plana formada pela intersecção entre um plano e um cone duplo de revolução. A figura resultante dessa intersecção também pode ser definida algebricamente, a partir da distância entre dois pontos. As hipérboles, embora estejam totalmente contidas em um plano, são curvas. Isso significa que elas não possuem nenhuma parte plana.
A imagem a seguir ilustra uma hipérbole:
Definição formal de hipérbole
Dados dois pontos do plano, F1 e F2, chamados de focos da hipérbole, e a distância 2c entre eles, a hipérbole é o conjunto dos pontos cuja diferença das distâncias até F1 e até F2 é igual a uma constante 2a.
Em outras palavras, P é um ponto da hipérbole se |dPF1 – dPF2| = 2a. A figura a seguir exemplifica essa definição. Note que a diferença das distâncias entre o ponto Q e os focos é igual à diferença da distância entre o ponto P e os focos.
Elementos da hipérbole
Focos: São os pontos F1 e F2. A distância entre os focos é 2c e é conhecida como distância focal.
Centro: Dado o segmento cujas extremidades são os focos, o centro da hipérbole é o ponto médio desse segmento.
Eixo real: A hipérbole intercepta o segmento F1F2 nos pontos A1 e A2. O segmento A1A2 é chamado de eixo real. O comprimento do eixo real é 2a.
Eixo imaginário: é o segmento de reta B1B2 perpendicular ao eixo real, com ponto médio no centro da hipérbole. A distância do ponto B1 até A1 é igual a c, assim como as distâncias de B1 a A2, B2 a A1 e B2 a A2. O comprimento do eixo imaginário é 2b.
Excentricidade: é a razão a seguir
c
a
A seguinte imagem mostra os comprimentos “a”, “b” e “c” em uma hipérbole, na qual é possível observar a relação de Pitágoras:
c2 = a2 + b2
Equações reduzidas da hipérbole
Existem duas equações reduzidas da hipérbole. A primeira é para o caso em que a hipérbole possui os focos sobre o eixo x e centro sobre a origem de um plano cartesiano:
x 2 – y 2 = 1
a2 b2
A segunda equação é para o caso em que a hipérbole também possui centro na origem, mas seus focos estão sobre o eixo y do plano cartesiano:
y 2 – x 2 = 1
a2 b2
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática