Uma função é uma regra que liga cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B, respectivamente conhecidos como domínio e contradomínio da função. Para que a função seja chamada função do segundo grau, é necessário que sua regra (ou lei de formação) possa ser escrita na seguinte forma:
f(x) = ax2 + bx + c
ou
y = ax2 + bx + c
Além disso, a, b e c devem pertencer ao conjunto dos números reais e a ≠ 0. Dessa forma, são exemplos de função do segundo grau:
a) f(x) = x2 + x – 6
b) f(x) = – x2
Raízes da função do segundo grau
As raízes de uma função são os valores assumidos por x quando f(x) = 0. Assim, para encontrá-las, basta substituir f(x) ou y por zero na função e resolver a equação resultante. Para resolver equações do segundo grau, podemos usar fórmula de Bháskara, método de completar quadrados ou qualquer outro método. Lembre-se: como a função é do segundo grau, ela deve ter até duas raízes reais distintas.
Exemplo – As raízes da função f(x) = x2 + x – 6 podem ser calculadas da seguinte forma:
f(x) = x2 + x – 6
0 = x2 + x – 6
a = 1, b = 1 e c = – 6
? = b2 – 4·a·c
? = 12 – 4·1·(– 6)
? = 1 + 24
? = 25
x = – b ± √?
2a
x = – 1 ± √25
2
x = – 1 ± 5
2
x’ = – 1 + 5 = 4 = 2
2 2
x” = – 1 – 5 = – 6 = – 3
2 2
Logo, as raízes da função f(x) = x2 + x – 6 são os pontos de coordenadas A = (2, 0) e B = (– 3, 0).
Vértice da função – Ponto máximo ou mínimo
O vértice é o ponto no qual a função do segundo grau atinge seu valor máximo ou mínimo. Suas coordenadas V = (xv, yv) são dadas pelas fórmulas a seguir:
xv = – b
2a
e
yv = – ?
4a
No mesmo exemplo citado anteriormente, o vértice da função f(x) = x2 + x – 6 é obtido por:
xv = – b
2a
xv = – 1
2·1
xv = – 1
2
xv = – 0,5
e
yv = – ?
4a
yv = – 25
4·1
yv = – 25
4
yv = – 6,25
Assim, as coordenadas do vértice dessa função são V = (– 0,5; – 6,25).
A coordenada yv também pode ser obtida substituindo o valor de xv na própria função.
Gráfico da função do segundo grau
O gráfico de uma função do segundo grau sempre será uma parábola. Existem alguns macetes envolvendo essa figura que podem ser usados para facilitar a construção do gráfico. Para exemplificar esses macetes, também usaremos a função f(x) = x2 + x – 6.
1 – O sinal do coeficiente a está ligado à concavidade da parábola. Se a > 0 a concavidade da figura será voltada para cima, se a < 0 a concavidade da figura será voltada para baixo.
Assim, no exemplo, como a = 1, que é maior que zero, a concavidade da parábola que representa a função f(x) = x2 + x – 6 será voltada para cima.
2 – O coeficiente c é uma das coordenadas do ponto de encontro da parábola com o eixo y. Em outras palavras, a parábola sempre se encontra com o eixo y no ponto C = (0, c).
No exemplo, o ponto C = (0, – 6). Então, a parábola passa por esse ponto.
3 – Assim como no estudo dos sinais da equação do segundo grau, nas funções do segundo grau, o sinal do determinante aponta o número de raízes da função:
Se ? > 0 a função tem duas raízes reais distintas.
Se ? = 0 a função tem duas raízes reais iguais.
Se ? < 0 a função não tem raízes reais.
Dados esses macetes, será preciso encontrar três pontos pertencentes a uma função do segundo grau para construir o gráfico. Em seguida, basta marcar esses três pontos no plano cartesiano e desenhar a parábola que passa por eles. A saber, os três pontos são:
-
O vértice e as raízes da função, se ela possuir raízes reais;
ou
-
O vértice e dois outros pontos quaisquer, se a função não possuir raízes reais. Nesse caso, um ponto deve estar à esquerda e outro à direita do vértice da função no plano cartesiano.
Observe que um desses pontos pode ser C = (0, c), exceto no caso em que esse ponto for o próprio vértice.
No exemplo f(x) = x2 + x – 6, temos o seguinte gráfico:
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática