Fatoração de polinômios é um conteúdo matemático que reúne técnicas para escrevê-los em forma de produto entre monômios ou até mesmo entre outros polinômios. Essa decomposição é baseada no teorema fundamental da aritmética, que garante o seguinte:
Todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto
em um produto de números primos.
As técnicas usadas para fatorar polinômios – chamadas de casos de fatoração – baseiam-se nas propriedades da multiplicação, em especial na propriedade distributiva. Os seis casos de fatoração de polinômios são os seguintes:
1º caso de fatoração: fator comum em evidência
Observe, no polinômio a seguir, que existe um fator repetindo-se em cada um de seus termos.
4x + ax
Para escrever esse polinômio na forma de produto, coloque esse fator que se repete em evidência. Para isso, basta fazer o processo inverso da propriedade distributiva da seguinte maneira:
x(4 + a)
Observe que, aplicando a propriedade distributiva nessa fatoração, teremos justamente o polinômio inicial. Veja outro exemplo do primeiro caso de fatoração:
4x3 + 6x2
4x3 + 6x2 = 2·2xxx + 2·3xx = 2xx(2x + 3) = 2x2(2x + 3)
Para mais informações sobre esse caso de fatoração, consulte o texto Fatoração: Fator comum em evidência aqui.
2° caso de fatoração: agrupamento
Pode ser que, ao colocar fatores comuns em evidência, o resultado seja um polinômio que ainda possui fatores comuns. Então, devemos fazer um segundo passo: colocar fatores comuns em evidência novamente.
Assim, a fatoração por agrupamento é uma dupla fatoração por fator comum.
Exemplo:
xy + 4y + 5x + 20
Na primeira fatoração, colocaremos os termos comuns em evidência da seguinte maneira:
y(x + 4) + 5(x + 4)
Observe que o polinômio resultante possui, em seus termos, o fator comum x + 4. Colocando-o em evidência, teremos:
(x + 4)(y + 5)
Para mais informações e exemplos sobre esse caso de fatoração, consulte o texto Agrupamento clicando aqui.
3º caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito
Esse caso, basicamente, é o contrário de produtos notáveis. Observe o produto notável a seguir:
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25
Na fatoração do trinômio quadrado perfeito, escrevemos polinômios expressos nessa forma como produto notável. Veja um exemplo:
4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2
Observe que é preciso garantir que o polinômio é realmente um trinômio quadrado perfeito para fazer esse procedimento. Os processos para essa garantia podem ser encontrados aqui.
4º caso de fatoração: diferença de dois quadrados
Polinômios conhecidos como diferença de dois quadrados possuem esta forma:
x2 – a2
A sua fatoração é o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença. Observe o resultado da fatoração desse polinômio:
x2 – a2 = (x + a)(x – a)
Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, leia o texto Diferença de dois quadrados aqui.
5º caso de fatoração: soma de dois cubos
Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 + y3 pode ser fatorado da seguinte maneira:
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, leia o texto Diferença de dois cubos aqui.
6º caso de fatoração: diferença de dois cubos
Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 – y3 pode ser fatorado da seguinte maneira:
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
Para mais exemplos e informações sobre esse caso de fatoração, leia o texto Soma de dois cubos aqui.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática