Em Matemática, mais precisamente nos conteúdos de análise combinatória, permutações entre as letras de uma palavra, entre os números de uma sequência, entre os elementos de um conjunto e assim por diante são chamadas de anagramas.
Dessa maneira, os cálculos que envolvem anagramas geralmente terão o objetivo de descobrir de quantas formas é possível reordenar os elementos de um conjunto no qual a ordem desses elementos tem relevância. Por exemplo: de quantas maneiras é possível escolher a senha para um cartão de crédito sabendo-se que podem ser escolhidos quatro algarismos de 0 a 9 sem que se repita nenhum algarismo?
O que é permutação?
Permutação é a troca de lugar entre dois ou mais elementos de uma lista ou conjunto ordenado. O Princípio Fundamental da Contagem permite que as permutações entre esses elementos sejam contadas. É claro que, muitas vezes, não é possível contar essas trocas no sentido literal da palavra. Entretanto, elas podem ser calculadas pelo princípio citado.
Como um anagrama é uma nova palavra ou lista obtida por meio dos elementos de outra palavra ou lista, então, ele é obtido com uma permutação.
Exemplos de anagramas
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A palavra OVA possui os seguintes anagramas:
OVA, OAV, VOA, VOA, AOV e AVO
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Alguns dos anagramas da palavra PATO são:
PATO, TOPA e OPTA
Cálculo de anagramas
Em primeiro lugar, quando os anagramas são de palavras que possuem todas as letras diferentes, a possibilidade de escolha de letras para o primeiro espaço da nova palavra é o número total de letras (n). Para o segundo espaço, a letra escolhida no primeiro não poderá ser repetida, então, a quantidade de possibilidades de escolha para esse espaço é “n – 1” e assim por diante. Observe:
Exemplo: Quantos anagramas existem na palavra TOPA?
Note que a palavra "TOPA" não possui repetição de letras, por isso, usaremos o princípio fundamental da contagem, ou permutação simples:
4·3·2·1 = 24
A própria palavra "TOPA" já está incluída nesse resultado, portanto, o número de anagramas dessa palavra é 24 - 1 = 23.
Por outro lado, existem casos em que são pedidos anagramas de palavras que possuem repetição de letras. Acompanhe o desenvolvimento de um desses casos no exemplo a seguir:
Exemplo: Quantos anagramas existem na palavra ABACAXI?
São 5 letras disponíveis para permutar em 7 espaços. Note que a letra A repete-se 3 vezes. Para considerar essa repetição no cálculo da quantidade de anagramas, acompanhe o raciocínio: Se a letra A for utilizada no primeiro espaço, ainda poderá ser usada no segundo. Logo, ainda é possível escolher cinco letras diferentes para o segundo espaço.
Supondo que ela seja usada também no segundo, ainda sobram cinco letras diferentes para o terceiro. Por fim, se for usada no terceiro, já não é mais possível contar com a letra A e, portanto, sobram apenas 4 letras diferentes para o quarto. O cálculo a ser feito será o seguinte: calcular a permutação de 7 letras e dividir o resultado pela "permutação" das letras que se repetem:
7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 = 840
3! 3·2·1 6
Logo, há 840 anagramas com a palavra ABACAXI.
Essa também é a maneira de proceder quando a palavra a se calcular a quantidade de anagramas apresenta mais de uma letra repetida. Observe o exemplo seguinte:
Exemplo: Calcule a quantidade de anagramas da palavra MAMÃE desconsiderando o acento.
São três letras diferentes para 5 espaços, com uma repetição da letra M e uma da letra A. Nos dois primeiros espaços, teremos 3 possibilidades de letras, nos próximos dois, apenas duas possibilidades e, para o último espaço, teremos uma única possibilidade. Ao dividir a permutação de 5 "espaços" pelas permutações das letras que se repetem, teremos:
5! = 120 = 120 = 30
2!2! 2·2 4
Existem 30 - 1 = 29 anagramas da palavra MAMÃE, desconsiderando o acento.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática