Os vetores são segmentos de reta responsáveis por caracterizar grandezas físicas vetoriais, tais como força, velocidade, aceleração e distância. Tratam dos módulos, dados pelo seu tamanho, e das suas orientações, dadas pela sua direção e sentido. Os vetores podem ser classificados em iguais, nulos, perpendiculares, oblíquos, opostos, unitários e resultantes.
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Resumo sobre vetores
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Os vetores são caracterizados pelo seu módulo, direção e sentido.
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O vetor resultante é o vetor que resulta das operações vetoriais.
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As operações com vetores envolvem suas adições, subtrações e multiplicações por um número real.
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Os vetores perpendiculares são calculados por meio do teorema de Pitágoras.
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Os vetores oblíquos são calculados por meio da lei dos cossenos e orientados pela regra do paralelogramo.
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Os vetores podem ser decompostos na sua componente horizontal em x e na sua componente vertical em y.
Videoaula sobre vetores
Características dos vetores
Os vetores são representados por uma letra com uma seta acima — por exemplo,
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Módulo de um vetor
O módulo, comumentemente chamado de intensidade ou valor numérico, diz respeito ao tamanho da grandeza vetorial, sendo representado por
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Direção de um vetor
A direção informa a posição do vetor, podendo ser horizontal, vertical e diagonal.
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Sentido de um vetor
O sentido informa a posição na qual a ponta do vetor está apontando, podendo ser direita, esquerda, para cima, para baixo, leste, norte, sul, oeste, nordeste, noroeste, sudeste, sudoeste etc.
Tipos de vetores
Os vetores podem ser tipificados como vetores iguais, vetores nulos, vetores opostos e vetores unitários.
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Vetores iguais
Os vetores iguais são aqueles que apresentam a mesma direção, sentido e módulo, como podemos ver na imagem abaixo:
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Vetores opostos
Os vetores opostos são aqueles que apresentam sentidos opostos, sendo representados por um sinal negativo na frente do símbolo do vetor.
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Vetores perpendiculares
Os vetores perpendiculares são a combinação entre vetores com direções opostas que formam um ângulo de 90°.
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Vetores oblíquos
Os vetores oblíquos são a combinação entre vetores com direções opostas que formam um ângulo diferente de 0°, 90° e 180°.
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Vetores nulos
Os vetores nulos são aqueles que apresentam módulo igual a zero e direção e sentido indeterminados. São representados geometricamente por apenas um ponto e escrito como
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Vetores unitários
Os vetores unitários são aqueles que apresentam módulo igual a 1.
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Vetores resultantes
O vetor resultante é aquele que resulta das operações com vetores. Para determiná-lo com exatidão, é essencial levar em consideração o módulo, direção e sentido dos vetores utilizados na operação vetorial.
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Operações com vetores
As operações com vetores são operações algébricas realizadas por meio do módulo, direção e sentido dos vetores, sendo elas descritas abaixo:
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Adição de vetores
A adição de vetores é o somatório dos módulos (ou tamanhos) e sentidos dos vetores que obrigatoriamente estão no mesmo sentido e direção.
Exemplo: Determine o vetor resultante da adição dos vetores
O vetor resultante da adição dos vetores
A direção do vetor resultante é horizontal, o sentido do vetor resultante é para a direita e o tamanho do vetor resultante é de 5 unidades.
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Subtração de vetores
A subtração de vetores é a diferença dos módulos (ou tamanhos) e sentidos dos vetores. Eles precisam, obrigatoriamente, ter a mesma direção e sentido oposto.
Exemplo: Determine o vetor resultante da subtração dos vetores
O vetor resultante da subtração dos vetores
A direção do vetor resultante é horizontal, o sentido do vetor resultante é para a esquerda, e o tamanho do vetor resultante é de 1 unidade. O sinal negativo significa que ele está contrário ao sentido do vetor
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Produto de um número real por um vetor
O produto de um número real por um vetor gera um vetor novo, com mesma direção e sentido para o caso de o número real ser positivo e mesma direção e sentido oposto para o caso de o número real ser negativo. Seu módulo é o resultado do produto entre o número real n e o vetor
Exemplo: Determine o vetor resultante da multiplicação do número real 10 pelo vetor
Nesse caso, a direção e o sentido do vetor permanecem os mesmos — diagonal e sudoeste, respectivamente. Já o módulo é calculado por meio da fórmula abaixo:
A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é sudoeste, e o módulo do vetor novo é de 150 unidades.
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Vetores perpendicualres: regra do paralelogramo e o teorema de Pitágoras
Nos vetores perpendiculares, o módulo é calculado por meio do teorema de Pitágoras, com a sua equação:
Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores
Para encontrarmos sua direção e sentido, usaremos a regra do paralelogramo, que consiste primeiramente em unir os dois vetores pela sua origem, conforme desenhado abaixo:
Depois, traçaremos pontilhados do mesmo tamanho dos vetores, conforme desenhado abaixo:
Em seguida, traçaremos uma linha diagonal, unindo a ponta da origem dos vetores até o ponto em que suas setas se encontram. Essa linha corresponde ao vetor resultante
Já o módulo do vetor resultante é calculado por meio do teorema de Pitágoras, dado pela fórmula:
A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante
A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é nordeste, e o tamanho do vetor resultante é de
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Vetores oblíquos: regra do paralelogramo e lei dos cossenos
Nos vetores oblíquos, a direção e sentido são dados por meio da regra do paralelogramo e o módulo é calculado por meio da lei dos cossenos, com a sua fórmula:
Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores
Para encontrarmos sua direção e sentido, usaremos também a regra do paralelogramo, como explicada no exemplo anterior, resultando na imagem abaixo:
Já o módulo do vetor resultante é calculado por meio da lei dos cossenos, dada pela fórmula:
A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante
A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é para a direita, e o tamanho do vetor resultante é
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Vetor resultante de vários vetores
O vetor resultante de vários vetores é dado por meio da união das origens dos vetores e calculado pelo vetor resultante de dois em dois vetores, utilizando as operações de adição ou subtração, o teorema de Pitágoras ou a lei dos cossenos.
Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores
Primeiramente, vamos unir as origens dos vetores, como na imagem abaixo:
Depois, encontraremos o sentido e direção do vetor resultante entre os vetores
Já o módulo do vetor resultante
A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante
Em seguida, encontraremos o sentido e direção do vetor resultante entre os vetores
Já o módulo do vetor resultante
A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante
A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é leste-nordeste, e o tamanho do vetor resultante é de aproximadamente 2,6 unidades.
Para saber mais sobre as operações com vetores e conferir mais exemplos, clique aqui.
Decomposição vetorial
A decomposição vetorial é a fragmentação de um vetor em sua componente horizontal x e componente vertical y. O cálculo pode ser feito por meio das fórmulas abaixo:
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- a é o módulo do vetor
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- a é o módulo do vetor
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Exemplo: Encontre e calcule a componente horizontal e a componente vertical do vetor
Primeiramente, desenharemos o vetor
Então, vamos decompô-lo em suas componentes x e y da seguinte forma:
Depois, calcularemos a componente horizontal, por meio da sua fórmula:
Por fim, calcularemos a componente vertical, por meio da sua fórmula:
Exercícios resolvidos sobre decomposição vetorial
Questão 1
(UEPG-PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza:
a) escalar
b) algébrica
c) linear
d) vetorial
e) n.d.a.
Resolução:
Alternativa D. Toda grandeza que necessita de orientação, além da intensidade, é chamada de grandeza vetorial.
Questão 2
(Fesp) Em um corpo estão aplicadas apenas duas forças, de intensidades 12 N e 8,0 N. Uma possível intensidade da resultante será:
a) 22 N
b) 3,0 N
c) 10 N
d) zero
e) 21 N
Resolução:
Alternativa C. Como não nos foi informada a orientação dos vetores, a intensidade do vetor resultante pode ser dada pelas operações de dois vetores. Então, primeiramente calcularemos utilizando a adição de vetores:
Em seguida, calcularemos a subtração de vetores:
Depois, consideraremos os vetores como perpendiculares e os calcularemos com o teorema de Pitágoras:
Por fim, consideraremos os vetores como oblíquos e os calcularemos por meio da regra do paralelogramo:
Não temos o ângulo, mas sabemos que o menor valor e o maior valor do cosseno de um ângulo são -1 e 1, respectivamente, então realizaremos um cálculo para cada um desses valores:
Cosseno do ângulo 1:
Cosseno do ângulo -1:
Os valores possíveis de intensidade resultante são 4, 14, 42 e 20, então uma possível intensidade da resultante está entre 4 e 20, sendo 10.
Por Pâmella Raphaella Melo
Professora de Física