O volume do tronco de cone é o espaço ocupado por esse corpo redondo. Como a secção transversal de um cone de raio R produz um cone menor de raio r e um tronco de cone, os volumes desses três sólidos estão relacionados.
Leia também: Como calcular o tronco de uma pirâmide
Resumo sobre o volume do tronco de cone
- Um cone de raio R seccionado transversalmente a uma altura h do plano da base é dividido em dois sólidos geométricos: um cone de raio r e um tronco de cone.
- Os principais elementos do tronco de cone são a altura h, a base menor de raio r e base maior de raio R.
- O volume do tronco de cone é a diferença entre o volume do cone de raio R e o volume do cone de raio r.
- A fórmula do volume do tronco de cone é:
Videoaula sobre o volume do tronco de cone
Quais são os elementos do tronco de cone?
Os elementos de um tronco de cone formado da secção de um cone reto de raio R são:
- Base menor – círculo de raio r, obtido na secção do cone de raio R .
- Base maior – base circular do cone de raio R .
- Altura (h) – distância entre os planos das bases.
- Geratriz – segmento com extremidades nas circunferências que delimitam as bases.
A imagem abaixo apresenta os elementos de um tronco de cone. Note que as bases menor e maior são paralelas.
Fórmula do volume do tronco de cone
A seguir, vamos deduzir a fórmula do volume de um tronco de cone de altura h, raio da base menor r e raio da base maior R .
Considere que a secção transversal de um cone de raio R e altura H1 produz dois sólidos:
- um cone de raio r e altura H2 e
- um tronco de cone de altura h .
Perceba que
O volume do cone de raio R (que chamaremos de cone maior) será representado por VR; o volume do cone de raio r (que chamaremos de cone menor), por Vr ; e o volume do tronco de cone, por Vt. Portanto:
Note que:
Observação: VR e Vr são volumes de cones. Para revisar este assunto, clique aqui.
Assim:
O termo H2 corresponde à altura do cone menor. Relacionando as alturas dos cones com os respectivos raios das bases, podemos obter uma fórmula para o volume do tronco que dependa apenas dos elementos do tronco (R, r e h).
Associando o raio e a altura do cone maior (R e H1 ) com o raio e a altura do cone menor (r e H2), temos a seguinte proporção:
Logo, podemos reescrever o volume do tronco Vt do seguinte modo:
Assim, a fórmula do volume do tronco de cone é:
Leia também: Fórmulas de volumes de diversos sólidos geométricos
Como calcular o volume do tronco de cone?
Para calcular o volume de um tronco de cone, basta substituir na fórmula as medidas da altura, do raio da base menor e do raio da base maior.
- Exemplo: Qual o volume, em centímetros cúbicos, de um tronco de cone em que o raio da base maior é R = 5 cm, o raio da base menor é r = 3 e a altura é h = 2 cm? (Utilize π=3 )
Substituindo os dados na fórmula, temos que:
Exercícios resolvidos sobre o volume do tronco de cone
Questão 1
Um pote tem o formato de um tronco de cone com raio da base maior R = 8 cm, raio da base menor r = 4 e a altura h = 2 cm. O volume desse pote, em cm³, é:
a) 48 π
b) 64 π
c)112 π
d)448 π
e) 1344 π
Resolução
Substituindo os dados na fórmula, temos que:
Alternativa D
Questão 2
(Enem 2021) Uma pessoa comprou uma caneca para tomar sopa, conforme ilustração.
Sabe-se que 1 cm³ = 1 mL e que o topo da caneca é uma circunferência de diâmetro (D) medindo 10 cm, e a base é um círculo de diâmetro (d) medindo 8 cm.
Além disso, sabe-se que a altura (h) dessa caneca mede 12 cm (distância entre o centro das circunferências do topo e da base).
Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a capacidade volumétrica, em mililitro, dessa caneca?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Resolução
O formato da caneca é um tronco de cone em que o topo é a base maior. Além disso, R=5 , r = 4 cm e h = 12 . Logo:
Como 1 cm³ = 1 mL, temos que 732 cm³ = 732 mL.
Alternativa C
Fontes:
DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações – Ensino Médio. 3. ed. São Paulo: Ática, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica. 7 ed. Santos: Atual, 2013.