A tangente (abreviada como tg ou tan) é uma função trigonométrica. Para determinar a tangente de um ângulo, podemos utilizar diferentes estratégias: calcular a razão entre o seno e cosseno do ângulo, caso sejam conhecidos; utilizar uma tabela de tangentes ou uma calculadora; calcular a razão entre o cateto oposto e o adjacente, caso o ângulo em questão seja interno (agudo) de um triângulo retângulo, entre outras.
Leia também: Para que serve o círculo trigonométrico?
Resumo sobre tangente
-
Tangente é uma função trigonométrica.
-
A tangente de um ângulo interno a um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
-
A tangente de um ângulo qualquer é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo.
-
A função
é definida para ângulos x expressos em radianos, tais que cos . -
O gráfico da função tangente apresenta assíntotas verticais para os valores, em que
, com k inteiro, como . -
A lei das tangentes é uma expressão que associa, em um triângulo qualquer, as tangentes de dois ângulos e os lados opostos a esses ângulos.
Tangente de um ângulo
Se α é um ângulo interno de um triângulo retângulo, a tangente de α é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente:
Para um ângulo α qualquer, a tangente é a razão entre o seno α e o cosseno de α, em que
Cabe observar que, se α é um ângulo do 1º ou do 3º quadrante, a tangente terá sinal positivo; mas, se se α é um ângulo do 2º ou do 4º quadrante, a tangente terá sinal negativo. Essa relação resulta diretamente da regra de sinais entre os sinais do seno e do cosseno para cada α.
Importante: Perceba que a tangente não existe para valores de α em que
Tangente dos ângulos notáveis
Utilizando a expressão
Interessante: Além desses, podemos analisar os valores da tangente para os ângulos de 0° e 90°, que também são muito utilizados. Como sen 0° = 0, concluímos que tg 0° = 0. Para o ângulo de 90°, como cos 90° = 0, a tangente não existe.
Como calcular a tangente?
Para calcular a tangente, usamos a fórmula tg α=sen αcos α, usada para o cálculo da tangente de qualquer ângulo. Vejamos alguns exemplos a seguir.
-
Exemplo 1
Determine a tangente do ângulo α no triângulo retângulo abaixo.
Resolução:
Em relação ao ângulo α, o lado de medida 6 é o cateto oposto e o lado de medida 8 é o cateto adjacente. Assim:
-
Exemplo 2
Sabendo que
Resolução:
Como a tangente de ângulo é a razão entre o seno e cosseno desse ângulo, temos que:
Função tangente
A função fx=tg x é definida para ângulos x expressos em radianos, tal que
Além disso, todos os números reais são a imagem da função tangente.
→ Gráfico da função tangente
Observe que o gráfico da função tangente apresenta assíntotas verticais para os valores em que
Veja também: O que é domínio, contradomínio e imagem?
Lei das tangentes
A lei das tangentes é uma expressão que associa, em um triângulo qualquer, as tangentes de dois ângulos e os lados opostos a esses ângulos. Por exemplo, considere os ângulos α e β do triângulo ABC abaixo. Perceba que o lado CB = a é oposto ao ângulo α e que o lado AC = b é oposto ao ângulo β.
A lei das tangentes determina que:
Razões trigonométricas
As razões trigonométricas são as funções trigonométricas trabalhadas no triângulo retângulo. Interpretamos essas razões como relações entre os lados e ângulos desse tipo de triângulo.
Exercícios resolvidos sobre tangente
Questão 1
Seja θ um ângulo do segundo quadrante tal que sen
A) -4,688
B) 4,688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Resolução
Alternativa A
Se
Como θ é um ângulo do segundo quadrante, então cos θ é negativo, portanto:
Logo:
Questão 2
Considere um triângulo retângulo ABC com catetos AB = 3 cm e AC = 4 cm. A tangente do ângulo B é:
A)
B)
C)
D)
E)
Resolução:
Alternativa C
Pelo enunciado, o cateto oposto ao ângulo
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática