Estudar o sinal de uma função é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é pelo gráfico, pois nos permite uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.
Observação: para construir o gráfico de uma função do 2º grau, precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ > 0, duas raízes reais e distintas
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara:
Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
1º Exemplo:
y = x² – 3x + 2
x² – 3x + 2 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1
A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e ter duas raízes reais e distintas.
Análise do gráfico
x < 1 ou x > 2, y > 0
Valores entre 1 e 2, y < 0
x = 1 e x = 2, y = 0
2º Exemplo:
y = x² + 8x + 16
x² + 8x + 16 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0
A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.
Análise do gráfico:
x = –4, y = 0
x ≠ –4, y > 0
3º Exemplo:
y = 3x² – 2x + 1
3x² – 2x + 1 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆ = – 8
A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.
Análise do gráfico
A função será positiva para qualquer valor real de x.
4º Exemplo:
y = – 2x² – 5x + 3
– 2x² – 5x + 3 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3
∆ = 25 + 24
∆ = 49
A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas.
Análise do gráfico:
x < –3 ou x > 1/2, y < 0
Valores entre – 3 e 1/2, y > 0
x = –3 e x = 1/2, y = 0
5º Exemplo:
y = –x² + 12x – 36
–x² + 12x – 36 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36)
∆ = 144 – 144
∆ = 0
A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.
Análise do gráfico:
x = 6, y = 0
x ≠ 6, y < 0
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática