A regra de Cramer é um método desenvolvido para resolver sistemas lineares. Sistema linear é um conjunto de equações que se relacionam. Para encontrar a solução das incógnitas de um sistema linear existem vários métodos, dentre eles a regra de Cramer.
Para encontrar o conjunto de soluções um sistema linear utilizando a regra de Cramer é necessário conhecer o cálculo do determinante de uma matriz, pois reescrevemos o sistema linear como uma matriz dos coeficientes do sistema linear e utilizamos uma relação entre os determinantes para encontrar o valor de cada uma das incógnitas desse sistema linear.
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Resumo sobre regra de Cramer
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A regra de Cramer é um método para encontrar as soluções de um sistema linear.
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Dado um sistema de equações, a regra de Cramer propõe que:
D, Dx, Dy e Dz são determinantes de matrizes formadas com o sistema.
Videoaula sobre a regra de Cramer
O que é a regra de Cramer?
A regra de Cramer foi uma estratégia desenvolvida pelo matemático Gabriel Cramer, que tinha como objetivo encontrar um método para facilitar a busca dos valores que são solução de um sistema linear que possuem o mesmo número de equações e incógnitas. Um sistema linear é um conjunto de n equações que estão relacionadas entre si. Vejamos um exemplo algébrico de sistema linear 3x3.
A regra de Cramer determina que:
D, Dx, Dy e Dz são determinantes de matrizes formadas com o sistema.
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D → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas;
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Dx → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes que estão depois da igualdade;
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Dy → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes que estão depois da igualdade;
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Dz → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes que estão depois da igualdade.
Para aplicar a regra de Cramer, é necessário retirar desse sistema linear quatro matrizes 3x3, das quais calcularemos o determinante.
A primeira delas é a matriz formada por cada um dos coeficientes de x, y e z. Seu determinante é representado por D.
Já nas demais matrizes, vamos substituir cada uma das colunas pela coluna dos valores que estão depois da igualdade. Por exemplo, Dx terá na sua primeira coluna, onde ficavam os coeficientes de x, os valores de d1, d2 e d3. Em Dy e Dz, isso acontecerá respectivamente nas 2ª e 3ª colunas:
Após calcular os 4 determinantes, é possível obter a razão entre eles, para encontrarmos o valor de cada uma das variáveis.
Observação: Como vamos calcular a razão entre os determinantes, e o denominador sempre será o determinante D, para encontrar os valores para as incógnitas é necessário que D ≠ 0. Caso o determinante D seja igual a 0, significa que ou o sistema é impossível, ou seja, não possui soluções, ou o sistema é possível indeterminando, ou seja, possui infinitas soluções.
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Regra de Cramer em um sistema 2x2
Vejamos, a seguir, a aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de um sistema linear 2x2.
Exemplo:
Resolução:
Como esse sistema é 2x2, encontraremos os valores de: D, Dx e Dy.
Calculando o determinante, temos que:
D = 2 · 2 – 4 · 3
D = 4 – 12
D = – 8
Agora, calcularemos Dx:
Dx = 7 · 2 – 10 · 3
Dx = 14 – 30
Dx = – 16
Calcularemos também Dy:
Dy = 2 · 10 – 7 · 4
Dy = 20 – 28
Dy = – 8
Em seguida, calcularemos os valores de x e de y:
Então, os valores de x e y que satisfazem esse sistema de equação são x = 2 e y = 1.
Regra de Cramer para um sistema 3x3
Agora, vejamos um exemplo da aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de um sistema de equação 3x3.
Exemplo:
Resolução:
Primeiramente, calcularemos o valor de D:
D = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 2 + 5 · 1 · (– 1) – [5 · 2 · 2 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 1 · 3]
D = 6 – 6 – 5 – [20 – 1 – 9]
D = – 5 – 10
D = – 15
Agora, calcularemos o valor de Dx:
Dx = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 10 + 5 · 12 · (– 1) – [5 · 2 · 10 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 12 · 3]
Dx = 6 – 30 – 60 – [100 – 1 – 108]
Dx = – 84 + 9
Dx = – 75
Calculando Dy:
Dy = 1 · 12 · 3 + 1 · 1 · 2 + 5 · 1 · 10 – [5 · 12 · 2 + 1 · 1 · 10 + 1 · 1 · 3]
Dy = 36 + 2 + 50 – [120 + 10 + 3]
Dy = 88 – 133
Dy = – 45
Calculando Dz:
Dz = 1 · 2 · 10 + (– 3) · 12 · 2 + 1 · 1 · (– 1) – [1 · 2 · 2 + 1 · 12 · (– 1) + (– 3) · 1 · 10
Dz = 20 – 72 – 1 – [4 – 12 – 30]
Dz = – 53 +38
Dz = – 15
Agora podemos encontrar os valores de x, y e z:
Leia também: Multiplicação de matrizes — passo a passo de como efetuar
Exercícios resolvidos sobre regra de Cramer
Questão 1
Uma determinada escola resolveu realizar jogos olímpicos em comemoração ao Dia do Cerrado, com 14 modalidades. Os resultados obtidos foram os seguintes:
|
Equipe |
Ouro |
Prata |
Bronze |
Pontuação |
|
Equipe Pequi |
5 |
5 |
3 |
43 |
|
Equipe Ipê |
5 |
4 |
7 |
44 |
|
Equipe Caju |
4 |
5 |
4 |
39 |
Sendo x, y e z as pontuações recebidas para as medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente, então x + y + z será igual a:
A) 8.
B) 9.
C) 10.
D) 11.
E) 12.
Resolução:
Alternativa B
Para encontrar o valor de cada uma das medalhas na pontuação, montaremos o seguinte sistema:
Aplicando a regra de Cramer, temos que:
D = 5 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 5 – [4 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28
Agora, calcularemos Dx:
Dx = 43 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 39 + 3 ⋅ 44 ⋅ 5 − [39 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 43 + 4 ⋅ 44 ⋅ 53] = − 140
Calculando Dy:
Dy = 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 39 − [4 ⋅ 44 ⋅ 3 + 39 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 43] = − 84
Calculando Dz:
Dz = 5 ⋅ 4 ⋅ 39 + 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 5 ⋅ 5 − [4 ⋅ 4 ⋅ 43 + 5 ⋅ 44 ⋅ 5 + 39 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28
Então, calculando x, y e z, temos que:
Por fim, x + y + z = 5 + 3 + 1 = 9.
Questão 2
Em uma visita ao supermercado, Kamila, sem querer, acabou esbarrando em uma prateleira onde havia copos e taças de vidro. Ao todo, 4 copos e 3 taças foram quebrados. Ao chegar ao caixa e informar o ocorrido, ela decidiu pagar pelos produtos danificados, que totalizaram R$ 15,00. Se o acidente não tivesse ocorrido e Kamila comprasse 2 copos e uma taça, o valor pago seria de R$ 6,00. Sabendo disso, o valor de uma taça somado ao de um copo é de:
A) R$ 1,50.
B) R$ 3,00.
C) R$ 4,50.
D) R$ 5,00.
E) R$ 6,50.
Resolução:
Alternativa C
Primeiramente, montaremos o sistema com duas equações.
x→ preço do copo
y → preço da taça
De acordo com o enunciado, temos que:
4x + 3y = 15
2x + y = 6
Aplicando a regra de Cramer:
D = 4 · 1 – 2 · 3
D = 4 – 6
D = – 2
Calculando Dx:
Dx = 15 · 1 – 3 · 6
Dx = 15 – 18
Dx = – 3
Calculando Dy:
Dy = 4 · 6 – 15 · 2
Dy = 24 – 30
Dy= – 6
Dessa forma, temos que:
Então, o valor de um copo e uma taça é de 1,50 + 3,00 = R$ 4,50.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática