Raiz quadrada aproximada

Uma raiz quadrada aproximada é uma representação finita de um número irracional. Em muitos casos, quando trabalhamos com raízes quadradas, uma estimativa com algumas casas decimais já é suficiente para nossos cálculos.

A calculadora é uma importante ferramenta nesse processo. Seu visor, que possui um espaço limitado, indica uma boa aproximação para raízes quadradas não exatas. Mas também é possível encontrar essas estimativas sem o auxílio de uma calculadora, como veremos a seguir.

Leia também: Radiciação — tudo sobre a operação inversa da potenciação

Resumo sobre raiz quadrada aproximada

• Uma raiz quadrada não exata é um número irracional.

• Podemos encontrar valores aproximados para raízes quadradas não exatas.

• A precisão da aproximação depende do número de casas decimais utilizadas.

• A aproximação pode ser feita de diferentes maneiras, inclusive com o auxílio da calculadora.

• Encontrar uma aproximação y para a raiz quadrada de x significa que y² é muito próximo de x, mas y² não é igual a x.

Videoaula sobre raiz quadrada aproximada

Como se calcula a raiz quadrada aproximada?

Existem diferentes formas para calcular a aproximação de uma raiz quadrada. Uma delas é a calculadora! Por exemplo, quando escrevemos  na calculadora e clicamos em =, o número resultante é uma aproximação. O mesmo acontece com  e , que também são raízes quadradas não exatas, ou seja, são números irracionais.

Outra forma é utilizar raízes exatas próximas da raiz não exata estudada. Isso permite comparar as representações decimais e encontrar um intervalo para a raiz não exata. Assim, podemos testar alguns valores até encontrar uma boa aproximação.

Parece difícil, mas não se preocupe: é um processo de testes. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Encontre uma aproximação com duas casas decimais para .

Perceba que  e  são as raízes exatas mais próximas de . Lembre-se que quanto maior o radicando, maior o valor da raiz quadrada. Assim, podemos concluir que

Ou seja,  é um número entre 2 e 3.

Agora é o momento da testagem: escolhemos alguns valores entre 2 e 3 e verificamos se cada número ao quadrado se aproxima de 5. (Lembre-se que  se ).

Por uma questão de simplificação, vamos começar com números com uma casa decimal:

Observe que nem precisamos continuar a analisar números com uma casa decimal: o número procurado está entre 2,2 e 2,3.

Agora, como buscamos uma aproximação com duas casas decimais, vamos prosseguir com os testes:

Novamente, podemos parar a análise. O número procurado está entre 2,23 e 2,24.

Mas, e agora? Qual desses valores com duas casas decimais escolhemos como aproximação de ? Os dois são boas opções, porém observe que o melhor é aquele cujo quadrado mais se aproxima de 5:

Ou seja,  está mais próximo de 5 do que .

Assim, a melhor aproximação com duas casas decimais para  é 2,24. Escrevemos que .

2. Encontre uma aproximação com duas casas decimais para .

Poderíamos iniciar da mesma maneira que no exemplo anterior, ou seja, buscar raízes exatas cujos radicandos sejam próximos de 20, mas observe que é possível diminuir o valor do radicando e facilitar as contas:

Note que realizamos a decomposição do radicando 20 e utilizamos uma propriedade de radiciação.

Agora, como , podemos utilizar a aproximação com duas casas decimais para  do exemplo anterior:

Observação: Como utilizamos um número já aproximado (), o valor 4,48 pode não ser a melhor aproximação com duas casas decimais para .

Leia também: Como calcular a raiz cúbica de um número?

Diferenças entre a raiz quadrada aproximada e a raiz quadrada exata

Uma raiz quadrada exata é um número racional. Perceba que , e  são exemplos de raízes quadradas exatas, pois ,  e . Além disso, quando aplicamos a operação inversa (ou seja, a potenciação com expoente 2), obtemos o radicando. Nos exemplos anteriores, temos que ,  e .

Uma raiz quadrada não exata é um número irracional (ou seja, um número com infinitas casas decimais não periódicas). Assim, utilizamos aproximações em sua representação decimal. Perceba que ,  e  são exemplos de raízes não exatas, pois ,  e . Além disso, quando aplicamos a operação inversa (ou seja, a potenciação com expoente 2), obtemos um valor próximo ao radicando, porém não igual. Nos exemplos anteriores, temos que ,  e .

Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada

Questão 1

Organize os seguintes números em ordem crescente: .

Resolução

Perceba que  é uma raiz quadrada não exata e  é exata (). Assim, precisamos apenas identificar a posição de .

Note que . Considerando que quanto maior o radicando, maior o valor da raiz quadrada, temos que

Portanto, organizando os números em ordem crescente, temos

Questão 2

Entre as alternativas a seguir, qual é a melhor aproximação com uma casa decimal para o número ?

a) 6,8

b) 7,1

c) 7,3

d) 7,8

e) 8,1

Resolução

Alternativa C

Observe que  e  são as raízes quadradas exatas mais próximas de . Como  e , temos que

Vejamos algumas possibilidades de aproximação com uma casa decimal para :

Perceba que não é necessário continuar com os testes. Além disso, entre as alternativas, 7,3 é a melhor aproximação com uma casa decimal para .

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática