Probabilidade

Probabilidade é um conceito estatístico relacionado a situações aleatórias. A probabilidade de um evento é indicada por um número entre 0 e 1, sendo 0 um evento impossível e 1 um evento certo. O cálculo da probabilidade de um evento é realizado pela razão entre o número de casos favoráveis ao evento e o número de casos possíveis.

Leia também: Estatística — área da matemática responsável pela contagem e pela organização de dados

Resumo sobre probabilidade

• O estudo da probabilidade é a análise de experimentos aleatórios.
• Espaço amostral é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
• Se todos os resultados têm a mesma chance de ocorrer, o espaço amostral é chamado de equiprovável.
• Evento é um conjunto particular de resultados de um experimento aleatório.
• A probabilidade de um evento A ocorrer é a razão entre o número de elementos do conjunto A e o número de elementos do espaço amostral:

• A probabilidade é sempre um número de 0 a 1.

O que é probabilidade?

Probabilidade é a chance de obter determinado resultado em um experimento. Fundamentos probabilísticos são utilizados na análise de experimentos e situações aleatórias e podem contribuir para tomadas de decisões em diferentes contextos.

Para desenvolver o estudo da probabilidade, precisamos compreender alguns conceitos básicos.

• Ponto amostral na probabilidade

Considere uma situação ou experimento que pode produzir diferentes resultados cada vez que ocorrer (ou seja, um experimento aleatório). Cada resultado particular é chamado de ponto amostral.

Exemplo: A face superior resultante do lançamento de um dado é um experimento aleatório. Cada face é um ponto amostral.

• Espaço amostral na probabilidade

Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Esse conjunto é frequentemente expresso pela letra grega maiúscula Ômega: Ω .

Exemplo: A face superior resultante do lançamento de um dado de 6 faces pode ser o número 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Logo, nesse experimento, Ω= {1,2,3,4,5,6}.

→ Espaço amostral equiprovável

Um espaço amostral é chamado de equiprovável se todos os resultados possuem a mesma chance de acontecerem.

Exemplo: Ao lançar um dado comum (também chamado de “não viciado”) de 6 faces, a chance de obter, na face superior, o número 1 é a mesma de obter o número 2, que é a mesma de obter o número 3 e assim por diante. Portanto, o espaço amostral Ω={1,2,3,4,5,6} é equiprovável.

Tipos de probabilidade

Existem diferentes concepções acerca do estudo de probabilidade.

• A probabilidade clássica supõe um espaço amostral equiprovável para o cálculo de probabilidades.
• A probabilidade empírica (ou frequentista) considera que o cálculo de probabilidade deve ser realizado a partir de repetições do experimento e análise dos resultados.
• A probabilidade subjetiva se baseia em ideias, crenças e julgamentos pessoais. Consequentemente, o cálculo de probabilidade em determinado contexto pode variar de uma pessoa para outra.

Observação: Nos exemplos deste texto,  trataremos de situações relacionadas à probabilidade clássica.

Leia também: Três erros cometidos no cálculo de probabilidade

Eventos na probabilidade

Um evento é um conjunto específico de resultados e geralmente é representado por uma letra maiúscula.

Considere o experimento de lançar um dado de 6 faces e observar a face superior. Exemplos de eventos são:

• A = Obter um número ímpar.
• B = Obter um número par.
• C = {1,2} (Obter o número 1 ou o número 2.).
• D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Obter um número de 1 a 6.).
• E = {7} (Obter o número 7).

Note que os eventos A, B, C e D são subconjuntos do espaço amostral (o evento D, inclusive, é igual ao espaço amostral). Assim, os eventos A, B e C são eventos possíveis e o evento D é um evento certo, pois com certeza a face obtida será um número de 1 a 6. Já o evento E é chamado de evento impossível, pois não podemos obter o número 7 ao lançar um dado de 6 faces.

Fórmula da probabilidade

Agora que conheçemos esses conceitos fundamentais, podemos seguir com o cálculo básico de probabilidade. Vamos representar a probabilidade de um evento A acontecer por P(A).

A probabilidade de um evento A ocorrer a partir de um experimento é a razão entre o número de casos favoráveis a esse evento e o número total de casos possíveis. Isso significa, respectivamente, a razão entre o número de elementos do conjunto A e o número de elementos do espaço amostral do experimento.

• P(A) →  probabilidade do evento A ocorrer.
• n(A) →  número de elementos do conjunto A, ou seja, a quantidade pontos amostrais favoráveis à ocorrência de A.
• n(Ω ) →  número de elementos do espaço amostral.

Observações:

→ Frequentemente essa razão é expressa nas formas percentual e decimal.

→ Note que P(A) é um número de 0 a 1. Se A for impossível, n(A) = 0  e P(A) = 0 = 0% . Se A for o espaço amostral, então n(A)= n(Ω) e P(A)= 1= 100% .

Como calcular probabilidade?

Para calcular a probabilidade de um evento, devemos determinar o número de casos favoráveis à sua ocorrência e o número de casos possíveis para aplicar a fórmula.

• Exemplo 1: Qual a probabilidade de obter a face “cara” no lançamento de uma moeda?

Seja A o evento de obter a face “cara” no lançamento de um moeda. Há dois possíveis resultados para o lançamento de moeda: “cara” ou “coroa”. Assim, Ω= {cara,coroa}, ou seja, o número de elementos do espaço amostral é 2. Ainda, o número de casos favoráveis ao evento A é 1, que é o resultado “cara”. Portanto,

• Exemplo 2: Qual a probabilidade de obter um número de 2 a 5 no lançamento de um dado de 6 faces?

Seja A o evento de obter um número de 2 a 5 no lançamento de um dado de 6 faces. Como observamos anteriormente, há 6 possíveis resultados: Ω= {1,2,3,4,5,6}. Assim, o número de casos possíveis é 6.

Ainda, os casos favoráveis ao evento A são 2, 3, 4 e 5, pois são os números de 2 a 5 em um dado de 6 faces. Assim, A= {2, 3, 4, 5} e o número de elementos de A é 4.

Logo:

Observação: O cálculo de probabilidade para dois ou mais eventos envolve a relação entre esses eventos. Para mais detalhes, consulte artigos como Probabilidade condicional e Probabilidade da união de dois eventos.

Diferenças entre probabilidade e estatística

A estatística é uma área do conhecimento que estuda a coleta, representação e análise de dados. Já a probabilidade é uma parte da estatística que compreende o estudo de eventos aleatórios e incertos.

Exercícios sobre probabilidade

Questão 1

(Enem) Em uma central de atendimento, 100 pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso.

Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Resolução

Seja A o evento de a senha sorteada ser um número de 1 a 20. Assim, n(A) = 12 . Como as pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100, tem-se que n(Ω) = 100 . Logo,

Alternativa C.

Questão 2

Em uma caixa, há 16 fichas numeradas de 1 a 16. Uma ficha será sorteada aleatoriamente.

Qual a probabilidade de o número da ficha sorteada ser maior ou igual a 12?

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Resolução

Seja A o evento de retirar uma ficha com um número maior ou igual a 12. Assim, A={12, 13, 14, 15, 16} e n(A) = 5 . Ainda, n(Ω) = 16. Logo,

Alternativa B.

Fontes:

LIMA, E. T. de . Probabilidade em livros didáticos de matemática dos anos finais: diferentes concepções. Zetetike, Campinas, SP, v. 28, p. e020015, 2020. Disponível em https://periodicos.sbu.unicamp.br/ojs/index.php/zetetike/article/view/8656908.

MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. de. Noções de Probabilidade e Estatística. 5ª edição. São Paulo: Edusp, 2002.

PIANA, C.F.B; MACHADO, A.A; SELAU, L.P.R. Estatística Básica. Departamento de Matemática e Estatística. 2013. (Apostila). Instituto de Física e Matemática, Universidade Federal de Pelotas. Disponível em: https://www.ufrgs.br/probabilidade-estatistica/extra/material/apostila_de_estatistica_basica.pdf.