O prisma é um sólido geométrico estudado na geometria espacial. Ele possui duas bases paralelas e formadas por polígonos, e as suas faces laterais são sempre paralelogramos. O prisma recebe um nome de acordo com o formato da sua base. Se a base for um pentágono, por exemplo, ele será um prisma de base pentagonal.
Existem duas classificações possíveis para o prisma, que é o prisma reto, quando ele possui arestas laterais perpendiculares à base, e o prisma oblíquo, quando a aresta lateral não é perpendicular à base. Para calcular a área total e o volume de um prisma, utilizamos fórmulas específicas.
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Elementos do prisma
Na geometria espacial, os sólidos geométricos são classificados como poliedros quando possuem todas as suas faces formadas por polígonos. O prisma, que é um caso particular de poliedro, possui duas bases paralelas, com formato de um polígono qualquer, e faces laterais formadas por paralelogramos. Os principais elementos de um prisma são, assim como os outros poliedros:
- as faces,
- os vértices e
- as arestas.
Em um prisma, as faces são os polígonos que formam o sólido geométrico. As arestas são os segmentos de reta formados pelo encontro de duas faces, e os vértices são os pontos.
Bases do prisma
Em um prisma, identificar a sua base é de grande importância, pois é a por meio que conseguimos diferenciar um prisma do outro. Se a base do prisma é triangular, por exemplo, ele é conhecido como prisma de base triangular; se é pentagonal, prisma de base pentagonal, e assim sucessivamente. É por intermédio do polígono que forma a base do prisma, portanto, que podemos diferenciá-lo.
De acordo com a base, o prisma pode ser nomeado como:
- prisma triangular: possui cada uma das bases no formato de um triângulo;
- prisma quadrangular: possui cada uma das bases no formato de um quadrilátero;
- prisma pentagonal: possui cada uma das bases no formato de um pentágono;
- prisma hexagonal: possui cada uma das bases no formato de um hexágono;
- prisma octogonal: possui cada uma das bases no formato de um octógono.
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Classificação do prisma
Existem duas classificações possíveis para um prisma: ele pode ser reto, quando as faces laterais formam um ângulo reto com as bases, e pode ser oblíquo, caso a base não faça um ângulo reto com a base.
Área total do prisma
A área total de um poliedro nada mais é do que a soma da área de todas as faces do prisma. Em um prisma, para encontrar a área total, é importante levar em consideração qual é o formato da sua base.
Seja Ab a área da base de um prisma. Sabemos que ele possui duas bases e as áreas laterais, que são sempre paralelogramos. Então, seja Sl = Al1 + Al2 … Aln a soma das áreas laterais. A área total de um prisma qualquer é calculada por:
AT = 2Ab + Sl
Volume do prisma
Para encontrar o volume do prisma, existe uma fórmula que também depende do formato da base do prisma. O volume de um prisma qualquer pode ser calculado por:
V = Ab · h
Exemplo:
O prisma abaixo possui base quadrangular. Sabendo que a sua base é um quadrado de lados que medem 3 centímetros e que a altura apresenta 8 centímetros, então, qual é a área total e o volume desse prisma?
Sabemos que a área do quadrado é igual ao lado ao quadrado, logo:
Ab = l²
Ab = 3²
Ab = 9 cm²
As áreas laterais são todas congruentes e possuem formato de um retângulo de lados com 3 cm e 8 cm. Além disso, é possível perceber que há 4 retângulos que formam a área lateral desse prisma, assim:
Al = b · h
Al = 3 · 8
Al = 24 cm²
Como há 4 retângulos congruentes na área lateral, então:
Sl = 4 · 24 = 96 cm²
A área total desse prisma é calculada por:
AT = 2Ab + Sl
AT = 2·9 + 96
AT = 18 + 96
AT = 114 cm²
Agora calcularemos o volume:
V = Ab · h
V = 9 · 8
V = 72 cm³
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Exercícios resolvidos
Questão 1 - (FEI) De uma viga de madeira de seção quadrada de lado l = 10 cm extrai-se uma cunha de altura h = 15 cm, conforme a figura. O volume da cunha é:
A) 250 cm³
B) 500 cm³
C) 750 cm³
D) 1000 cm³
E) 1250 cm³
Resolução
Alternativa C.
Como a base é um triângulo, sabemos que:
Ab =( b · h) : 2
Ab = (10·15 ): 2
Ab = 150 : 2
Ab = 75 cm²
Agora calcularemos o volume:
V = Ab · h
V = 75 · 10
V = 750 cm³
Questão 2 - Sobre os prismas, julgue as afirmativas a seguir.
I – O cilindro é um prisma que possui bases circulares.
II – Todo poliedro é um prisma, pois ambos possuem faces formadas por polígonos.
III – Um prisma de base triangular possui 6 vértices, 5 faces e 9 arestas.
Estão corretas:
A) somente a afirmativa I.
B) somente a afirmativa II.
C) somente a afirmativa III.
D) somente a afirmativa I e III.
E) Todas as afirmativas estão corretas.
Resolução
Alternativa C.
I → Falsa, pois o cilindro possui base circular, e o círculo não é um polígono, portanto o cilindro não é um prisma.
II → Falsa, pois todo prisma é um poliedro, mas existem poliedros que não são prismas.
III → Verdadeira.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática