A multiplicação de polinômios é uma operação entre expressões algébricas (expressões matemáticas que contêm números e letras). Diferentemente da adição e subtração de polinômios, em que a operação é realizada apenas entre os coeficientes dos termos semelhantes, a multiplicação ocorre também entre as partes literais. A propriedade distributiva é fundamental na operação de multiplicação entre polinômios, pois cada termo de um polinômio deve ser operado com cada termo do outro polinômio.
Leia também: Como fazer a divisão de polinômios?
Resumo sobre multiplicação de polinômios
- A multiplicação de polinômios é uma operação em que cada termo do primeiro polinômio é multiplicado por cada termo do segundo polinômio.
- Os conceitos fundamentais aplicados na multiplicação de polinômios são: a regra de sinais, a propriedade distributiva e a propriedade da multiplicação entre potências de mesma base.
- A regra de sinais determina que o produto entre termos de mesmo sinal resulta em um termo positivo e o produto entre termos de sinais diferentes resulta em um termo negativo.
- A propriedade distributiva estabelece que:
- A propriedade da multiplicação entre potências de mesma base indica que:
Como se faz a multiplicação de polinômios?
Para multiplicar polinômios (expressão algébrica formada por monômios), devemos aplicar a propriedade distributiva em cada termo envolvido. Na prática, esse processo consiste em multiplicações entre monômios. Dessa forma, é essencial dominar os seguintes conceitos:
- Regra de sinais: determina que o produto entre termos de mesmo sinal resulta em um termo positivo e o produto entre termos de sinais diferentes resulta em um termo negativo:
- Propriedade distributiva:
- Propriedade da multiplicação entre potências de bases iguais:
Importante: Neste texto utilizamos potências de x para indicar a parte literal dos polinômios, mas um polinômio pode apresentar outras letras na parte literal.
Multiplicação entre polinômio e um número real
Na multiplicação entre polinômio e um número real, devemos empregar a propriedade distributiva entre o número real e cada um dos termos do polinômio (ou seja, cada monômio). Da multiplicação de um número b com um monômio
- Exemplo 1:
2⋅(x 2+ 4x -1) = 2⋅ x2 + 2⋅ 4x +2 ⋅ (-1) = 2x2 + 8x -2
- Exemplo 2:
(5x3+8x2) ⋅ (-6) = 5x3 ⋅ (-6) + 8x2 ⋅ (-6) = -30x3 - 48x2
Multiplicação entre monômio e polinômio
Na multiplicação entre monômio e polinômio, devemos empregar a propriedade distributiva entre o monômio e cada um dos termos do polinômio. Nesse caso precisamos considerar a multiplicação entre as partes literais. Caso as potências de x multiplicadas possuam a mesma base, o resultado deve manter a base e somar os expoentes.
- Exemplo 1:
7x ⋅ (-x2 -3) = 7x ⋅ (-x2) + 7x ⋅ (-3)= -7x3 - 21x
- Exemplo 2:
(4x3 + 9x 2 -x + 1) ⋅ (x2) = 4x3 ⋅ x2 + 9x2 ⋅ x2 + (-x) ⋅ x2 + 1 ⋅ x2
= 4x5 + 9x4 - x3 + x2
Multiplicação de polinômio por polinômio
Na multiplicação de polinômio por polinômio, devemos empregar a propriedade distributiva multiplicando cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio. Note que é o mesmo sistema utilizado na multiplicação entre monômio e polinômio.
- Exemplo:
(x4+10) ⋅ (2x3+x) = x4 ⋅ (2x3+x) + 10⋅ (2x3+x)
=x4 ⋅ 2x3 + x4 ⋅ x + 10⋅2x3 + 10 ⋅ x
=2x7 + x5 + 20x3 + 10x
Veja também: Equação polinomial — a equação caracterizada por ter um polinômio igualado a zero
Exercícios resolvidos sobre multiplicação de polinômios
Questão 1
Um terreno retangular possui
A)
B)
C)
D)
E)
Resolução:
Alternativa E
A área de um retângulo é dada pelo produto entre o comprimento e a largura, assim:
Questão 2
Considere os polinômios
A) –4
B) –8
C) –10
D) –12
E) –14
Resolução:
Alternativa A
O produto entre p e q é dado por:
A soma dos coeficientes é igual a
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática