O conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, sendo assim, o número real pode ser um número racional ou um número irracional. Por isso, esse conjunto também contempla o dos números naturais e o dos números inteiros.
O conjunto dos números reais é o mais utilizado no cotidiano, como na realização de medições, no cálculo de funções matemáticas, no estudo de grandezas da física e da química, entre outras situações.
Leia também: Números primos — os números que têm como divisores apenas o número 1 e eles mesmos
Resumo sobre números reais
-
O conjunto dos números reais é a união dos números racionais (que podem ser representados em fração) com os números irracionais (que não podem ser representados em fração).
-
Os números racionais são compostos pelos números naturais e números inteiros.
-
Podemos calcular as quatro operações com os números reais, e, com base nelas, temos as propriedades específicas dos números reais:
-
existência de um elemento neutro na soma e na multiplicação;
-
propriedade associativa;
-
propriedade comutativa;
-
propriedade distributiva;
-
existência de um elemento inverso na multiplicação;
-
fechamento para a adição e para a multiplicação.
-
-
Os números reais podem ser representados de forma ordenada na reta real.
Quais são os números reais?
O conjunto dos números reais é a união entre os conjuntos dos números racionais e dos números irracionais (
Os números do cotidiano, em sua maioria, são reais, como os que utilizamos para medir peso, altura, temperatura, para fazer contagens, para as nossas relações monetárias, entre outras situações. O conjunto dos números reais não foi o primeiro conjunto numérico a surgir, e, para compreendê-lo, é necessário conhecer os demais conjuntos numéricos.
→ Números naturais
O primeiro conjunto numérico a surgir foi o dos números naturais, que atendeu à necessidade do ser humano de contabilizar e de quantificar objetos. Ele é representado pela letra
→ Números inteiros
Com o passar do tempo, surgiu a necessidade da representação de números negativos, que não existem nos números naturais, tornando necessária a ampliação do conjunto, dando origem ao conjunto dos números inteiros, composto pelos números naturais e os números opostos a ele. Ele é representado pela letra
→ Números racionais
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração. Nele incluímos os números decimais, as dízimas periódicas e os números inteiros.
Diferentemente dos conjuntos supracitados, o conjunto dos racionais não pode ser descrito por uma lista dos termos, pois, entre dois números racionais, sempre existirá outro número racional. Por exemplo, entre 0 e 1, temos 0,5; entre 0 e 0,5, temos o 0,25; entre 0 e 0,25, temos 0,125, e assim sucessivamente. Os números racionais são representados pela letra
Essa representação quer dizer que o conjunto dos números racionais (
→ Números irracionais
Quando se pensava que o conjunto dos números racionais continha todos os números conhecidos, surge o conjunto dos números irracionais, formado pelos números que não podem ser escritos na forma de fração. Os irracionais são as raízes não exatas e as dízimas não periódicas. Existem números irracionais mais conhecidos, como o número π. Representamos esse conjunto pela letra ð•€.
Exemplos:
-
(Raíz não exata) -
… (O π é uma dízima não periódica, logo, é um número irracional.) -
7,12344219023... (Dízima não periódica)
Os números reais contêm todos os conjuntos apresentados anteriormente, pois os números naturais e os números inteiros são também racionais e, junto aos números irracionais, compõem os números reais. |
Operações com números reais
As operações com os números reais não possuem nenhuma divergência em relação às operações com os demais conjuntos. Então, com eles, é possível realizar todas as operações, sendo elas: adição, subtração, multiplicação, potenciação e radiciação.
Propriedades dos números reais
Os números reais possuem algumas propriedades importantes. Veja cada uma delas a seguir.
→ Existência de um elemento neutro na adição e na multiplicação
Considere n um número real.
Existe um elemento neutro na soma que é o 0.
n + 0 = n
Existe um elemento neutro da multiplicação entre números reais que é o 1.n · 1 = n
→ Propriedade comutativa
Considere n e m números reais.
Na adição, a ordem das parcelas não altera a soma:
m + n = n + m
Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto:m · n = n · m
→ Propriedade associativa
Considere a, m, n números reais.
Na adição de três números, não importa quais números serão somados primeiro.
(a + m) + n = a + (m + n)
Na multiplicação de três números, não importa quais números serão multiplicados primeiro.
(a · m) · n = a · (m · n)
→ Propriedade distributiva
Considere a, m, n números reais.
Na propriedade distributiva, temos que o produto da soma é igual à soma dos produtos.
a (m + n) = am + an
→ Existência de um inverso na multiplicação
Considere n um número real diferente de 0.
Para todo número real n, existe um inverso,
→ Fechamento para a adição e para a multiplicação
O conjunto dos números reais é fechado para a adição e para a multiplicação, isso quer dizer que:
-
A soma de dois números reais é um número real.
-
A multiplicação entre dois números reais é um número real.
Saiba mais: Adição e subtração de notação científica — como fazer?
Representação dos números reais na reta numérica
Podemos representar os números reais em uma reta, isso possibilita, por exemplo, o desenvolvimento da área da geometria analítica e o estudo de gráficos de funções.
Para essa representação, utilizamos o princípio da boa ordem dos números reais, pois, ao comparar dois números reais distintos, é possível saber qual deles é o maior e então ordená-los. A representação dos números na reta é conhecida como reta numérica ou reta real. O marco zero é conhecido como origem da reta. Para o lado direito, temos os números reais positivos, e, para o lado esquerdo, os números reais negativos.
Exercícios resolvidos sobre números reais
Questão 1
(Vunesp)
Considere a seguinte reta numerada, na qual estão marcados apenas alguns números:
O número representado pela fração -3/2, se fosse colocado nessa reta, ficaria entre:
A) 0 e -1
B) -1 e -2
C) -2 e -3
D) -3 e -4
E) -4 e -5
Resolução:
Alternativa B
Para encontrar a posição da fração, faremos a divisão do numerador pelo denominador para encontrar a forma decimal desse número, então temos que:
-3 : 2 = -1,5
O valor de -1,5 está entre -1 e -2.
Questão 2
O primeiro conjunto a surgir foi o dos números naturais, e, ao longo da história, vários outros foram surgindo para atender à necessidade do ser humano daquela época. Analisando as alternativas a seguir, marque aquela que define corretamente o conjunto dos números reais.
A) É formado pelas frações e as dízimas periódicas.
B) É formado pelos números racionais e os números negativos.
C) É a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
D) É formado pelos números que não podem ser representados como uma fração.
E) É formado por todos os números positivos, inclusive as raízes não exatas.
Resolução:
Alternativa C
O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática