Os números naturais foram o primeiro conjunto numérico a ser levado em consideração, historicamente. Eles surgiram a partir da necessidade de contar do ser humano. O conjunto dos números naturais possui como elementos os números positivos e inteiros, como 1, 2, 3, 4, …. Esse conjunto possui as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
Os números naturais são números estritamente positivos que não possuem vírgula, ou seja, representam quantidades inteiras. O conjunto dos números naturais pode ser representado da seguinte maneira:
O conjunto dos números naturais é um conjunto infinito, ou seja, dado um número natural qualquer, existe pelo menos um número maior que ele. Veja alguns exemplos dos elementos que pertencem e não pertencem a esse conjunto.
Do exemplo acima, temos que o número 10, 2 e 100 pertencem ao conjunto dos naturais, e os números 1,65, –2 e 0 não pertencem ao conjunto dos naturais.
Leia também: Curiosidades sobre a divisão de números naturais
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Sucessor de um número natural
Como dissemos acima, o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito, ou seja, dado qualquer número n natural, existe sempre n+1, também natural. O número n+1 é chamado de sucessor de n. Para determinar o sucessor de qualquer número natural, basta somar 1 a esse número. Para exemplificar, vamos determinar os sucessores dos números 3, 1, 5 e 2p + 1.
O sucessor do número 3 é dado por 3+1, ou seja, o número 4. De modo análogo, os sucessores de 1 e 5 são, respectivamente, 2 e 6. Seguindo a definição de sucessor, vamos ter que o sucessor de 2p + 1 é 2p + 1 + 1, isto é, 2p + 2.
Com a definição de sucessor, fica mais clara a ideia de que o conjunto dos números naturais é infinito, pois é sempre possível encontrar qualquer sucessor de um número natural.
Antecessor de um número natural
O antecessor de um número natural n é aquele que antecede esse número n. Podemos escrever o antecessor de n como n – 1. Para exemplificar, vamos determinar os antecessores dos números 2, 5, 1000 e 2p + 1.
O antecessor de 2 é dado por 2 – 1, portanto é o número 1. De maneira análoga, os antecessores de 5 e 1000 são, respectivamente, os números 4 e 999. O antecessor do número 2p + 1 é 2p + 1 – 1, ou seja, o antecessor de 2p +1 é o número 2p.
É importante dizer que nem todo número natural possui antecessor, é o caso do número 1. Aplicando a definição de antecessor, teremos que o antecessor do número 1 é 1 – 1 = 0, mas o número zero não pertence aos números naturais. Assim sendo, todo número natural possui antecessor, com exceção do número 1. Por esse motivo, o número 1 é chamado de elemento mínimo dos naturais, isto é, trata-se do menor número natural. Podemos escrever essa informação desta forma:
Subconjunto dos números naturais
Sabemos que o conjunto dos números naturais é formado por números estritamente positivos, ou seja, números maiores que zero. Da teoria de conjuntos, temos que, dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todo elemento de B for elemento de A, ou seja, B está contido em A (B ⸦ A).
Assim, qualquer conjunto formado por números naturais será um subconjunto dos números naturais. Veja alguns exemplos:
Considere os conjuntos:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Os conjuntos A, B, e C são subconjuntos dos números naturais, pois todos os elementos desses conjuntos também são elementos dos naturais, ou seja, podemos dizer que:
Agora, observe o conjunto D. Note que, nesse conjunto, nem todo elemento pertence ao conjunto dos números naturais. Esse é o caso do número 0. Assim sendo, D não é subconjunto dos números naturais, ou seja, D não está contido no conjunto dos naturais. Denotamos esse fato da seguinte maneira:
Leia também: Números primos: quais são e como encontrá-los?
Números naturais pares
Dizemos que um número é par se ele é múltiplo do número 2, o que é equivalente a dizer que esse número é divisível por 2. Veja:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Pelo fato de o conjunto dos números naturais ser um conjunto infinito, o conjunto dos números pares também é. Observe também que todo elemento do conjunto dos números pares também é elemento dos números naturais e, portanto, o conjunto dos números pares é um subconjunto dos naturais.
Veja que:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 · 5
12 = 2 · 6
O conjunto dos números pares pode ser obtido a partir da multiplicação de todos os números naturais pelo número 2. Considerando, então, um número natural n, podemos escrever um número par utilizando a expressão 2n, logo o conjunto dos números pares pode ser escrito de modo geral por:
Para exemplificar, vamos averiguar se os números 1000, 2098 e 55 são pares.
Como 1000 = 2 · 500 e 2098 = 2 · 1049, eles são pares, pois existe um número natural que, multiplicado por 2, resulta neles. Agora, 55 não é par, pois não existe um número natural que, multiplicado por 2, resulte em 55. Veja:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
Como bem sabemos, não existe número natural entre 27 e 28, logo 55 não é par.
Números naturais ímpares
Um número é ímpar caso ele não seja par, ou seja, quando ele não é múltiplo nem divisível por 2. Assim, o conjunto dos números naturais ímpares são os naturais que não são múltiplos de 2. Esse conjunto pode ser escrito da seguinte maneira:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
De maneira análoga ao que fizemos no conjunto dos números pares, temos:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
O conjunto dos números ímpares pode ser obtido pela multiplicação de todos os números naturais por 2 e adicionando 1. Considerando um número natural n qualquer, podemos escrever um número ímpar qualquer utilizando a expressão 2n + 1. De modo geral, representamos o conjunto dos números ímpares por:
Observe que o conjunto dos números ímpares também é um conjunto infinito, visto que, para obter os números ímpares, multiplicamos os números naturais por 2 e, em seguida, somamos 1. Por esse motivo, o conjunto dos números ímpares também é um subconjunto dos naturais, pois todo elemento desse conjunto também é elemento dos naturais.
Veja também: Propriedades dos números pares e ímpares
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Liste apenas os números naturais dos números listados a seguir:
0, 1, 2, 0,43; –1, – 0,5 e 98.765
Solução
Sabemos que o conjunto dos números naturais é constituído por números estritamente positivos que não possuem vírgula, logo os números naturais da lista são: 1, 2 e 98.765.
Questão 2 – Considerando a forma geral de um número par, é verdade que, somando dois números pares, o resultado ainda é par? O mesmo vale para os números ímpares?
Solução
Sabemos que um número par pode ser escrito de forma geral pela multiplicação de um número natural qualquer por 2. Considere dois números naturais distintos, 2n e 2m, sendo m e n números naturais quaisquer, a soma dos dois é determinada por:
2n + 2m
Colocando o número 2 em evidência, temos:
2 ·(n +m)
Como n e m são dois números naturais, a soma deles também é, então n + m = k, sendo k um número natural.
2 ·(n +m)
2 · k
Portanto, a soma de dois números naturais pares também é um número par, pois a soma resultou em um número múltiplo de 2.
Agora, sabemos que um número ímpar é dado pela multiplicação de um número natural por 2 adicionada ao número 1. Considere agora dois números ímpares distintos, 2n +1 e 2m + 1, com m e n naturais. Somando esses números, temos:
2n +1 + 2m +1
2n + 2m +2
Novamente colocando o número 2 em evidência, temos:
2 (n +m +1)
Note que n + m + 1 é um número natural e podemos representá-lo por p, ou seja, n + m + 1 = p, logo:
2 ·(n +m +1)
2 · p
Veja que o resultado da soma de dois números ímpares resultou em um número múltiplo de 2, ou seja, par. Portanto, a soma de dois números ímpares é um número par.
Questão 3 – (Concurso/ Pref. de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o dividendo por 5 e reduzindo o divisor à metade, o quociente da nova divisão será:
a) 2
b) 5
c) 25
d) 50
e) 100
Solução
De acordo com o enunciado, o quociente (divisão) entre dois números naturais é 10. Como ainda não sabemos quais são esses números, vamos nomeá-los por m e n, então:
Agora, multiplicando o dividendo por 5 e reduzindo o divisor à metade, temos:
Realizando a divisão de fração e substituindo o valor de m, teremos:
Resposta: Alternativa e.