Matriz inversa

O conceito de matriz inversa se aproxima bastante do conceito de inverso de um número. Vamos lembrar que o inverso de um número n é o número n^-1, em que o produto entre os dois é igual ao elemento neutro da multiplicação, ou seja, o número 1. Já a inversa da matriz M é a matriz M^-1, em que o produto M · M^-1 é igual à matriz identidade I_n, que nada mais é do que o elemento neutro da multiplicação de matrizes.

Para que a matriz possua inversa, ela precisa ser quadrada e, além disso, o seu determinante tem que ser diferente de zero, caso contrário não haverá inversa. Para encontrar a matriz inversa, utilizamos a equação matricial.

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Matriz identidade

Para compreender o que é a matriz inversa, é necessário antes conhecer a matriz identidade. Conhecemos como matriz identidade a matriz quadrada I_n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais termos são iguais a 0.

A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação entre matrizes, ou seja, dada uma matriz M de ordem n, o produto entre a matriz M e a matriz I_n é igual à matriz M.

M · I_n = M

Como calcular a matriz inversa

Para encontrar a matriz inversa de M, é necessário resolver uma equação matricial:

 M · M^-1 = I_n

Exemplo

Encontre a matriz inversa de M.

Como não conhecemos a matriz inversa, vamos representar essa matriz de forma algébrica:

Sabemos que o produto entre essas matrizes tem que ser igual a I₂:

Agora vamos resolver a equação matricial:

É possível separar o problema em dois sistemas de equações. O primeiro usa a primeira coluna da matriz M ·M^-1 e a primeira coluna da matriz identidade. Assim, temos que:

Para resolver o sistema, vamos isolar a₂₁ na equação II e substituir na equação I.

Substituindo na equação I, temos que:

Como encontramos o valor de a₁₁, então encontraremos o valor de a₂₁:

Conhecendo o valor de a₂₁ e a₁₁, agora encontraremos o valor dos demais termos montando o segundo sistema:

Isolando a₂₂ na equação III, temos que:

3a₁₂ + 1a₂₂ = 0

a₂₂ = – 3a₁₂

Substituindo na equação IV:

5a₁₂ + 2a₂₂ =1

5a₁₂  + 2·( – 3a₁₂) = 1

5a₁₂ – 6a₁₂ = 1

– a₁₂ = 1    ( – 1)

a₁₂ = – 1

Sabendo o valor de a₁₂, encontraremos o valor de a₂₂ :

a₂₂ = – 3a₁₂

a₂₂ = – 3 · ( – 1)

a₂₂ = 3

Agora que conhecemos todos os termos da matriz M^-1, é possível representá-la:

Leia também: Adição e subtração de matrizes

Propriedades da matriz inversa

Existem propriedades que resultam da definição de uma matriz inversa.

• 1ª propriedade: a inversa da matriz M^-1 é igual à matriz M. A inversa de uma matriz inversa é sempre a própria matriz, ou seja, (M^-1)^-1 = M, pois sabemos que M^-1 · M = I_n, portanto M^-1 é a inversa de M e também M é a inversa de M^-1.
• 2ª propriedade: a inversa de uma matriz identidade é ela mesma: I^-1 = I, pois o produto da matriz identidade por ela mesma resulta na matriz identidade, ou seja,  I_n · I_n = I_n.
• 3ª propriedade: a inversa do produto de duas matrizes é igual ao produto das inversas:

(M×A)^-1 = M^-1 · A^-1.

• 4ª propriedade: uma matriz quadrada possui inversa se, e somente se, o seu determinante é diferente de 0, ou seja, det(M) ≠ 0.

Exercícios resolvidos sobre matriz inversa

1) Dadas a matriz A e a matriz B, sabendo que elas são inversas, então o valor de x+y é:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Resolução:

Alternativa d.

Montando a equação:

A · B = I 

Pela segunda coluna, igualando os termos, temos que:

3x + 5y = 0  → (I)

2x + 4y = 1  → (II)

Isolando x em I:

Substituindo na equação II, temos que:

Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x:

Agora calcularemos x + y:

Questão 2

Uma matriz só possui inversa quando o seu determinante é diferente de 0. Analisando a matriz abaixo, quais são valores de x que fazem com que a matriz não admita inversa?

a) 0 e 1.

b) 1 e 2.

c) 2 e – 1.

d) 3 e 0.

e) – 3 e – 2.

Resolução:

Alternativa b.

Calculando o determinante de A, queremos os valores em que det(A) = 0.

det(A) = x ·(x – 3)  – 1 · ( – 2)

det(A) = x² – 3x + 2

det(A) = x² – 3x + 2 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, temos que:

• a = 1
• b = – 3
• c = 2

Δ = b² – 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1