A matriz identidade é um tipo especial de matriz. Conhecemos como matriz identidade In a matriz quadrada de ordem n que possui todos os termos da diagonal iguais a 1 e os termos que não pertencem à diagonal principal iguais a 0. A matriz identidade é considerada o elemento neutro da multiplicação, ou seja, se multiplicamos uma matriz M pela matriz identidade, encontramos como resultado a própria matriz M.
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Resumo sobre matriz identidade
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A matriz identidade é a matriz quadrada com elementos da diagonal principal iguais a 1 e com os demais elementos iguais a 0.
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Há matrizes identidade de diversas ordens. Representamos a matriz identidade de ordem n por I n.
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A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, ou seja,
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O produto entre uma matriz quadrada e sua matriz inversa é a matriz identidade.
O que é matriz identidade?
A matriz identidade é um tipo especial de matriz quadrada. A matriz quadrada é conhecida como matriz identidade se ela possuir todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0. Então, em toda matriz identidade:
➝ Tipos de matriz identidade
Há matrizes identidade de diversas ordens. A de ordem n é representada por In. Vejamos abaixo algumas matrizes de outras ordens.
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Matriz identidade de ordem 1:
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Matriz identidade de ordem 2:
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Matriz identidade de ordem 3:
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Matriz identidade de ordem 4:
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Matriz identidade de ordem 5:
De forma sucessiva, podemos escrever matrizes identidade de diferentes ordens.
Propriedades da matriz identidade
A matriz identidade possui uma importante propriedade, pois ela é o elemento neutro da multiplicação entre as matrizes. Isso significa que qualquer matriz multiplicada pela matriz identidade é igual a ela mesma. Assim, dada a matriz M de ordem n, temos:
Outra propriedade importante da matriz identidade é que o produto entre uma matriz quadrada e sua matriz inversa é a matriz identidade. Dada uma matriz quadrada M de ordem n, o produto de M pela sua inversa é dado por:
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Multiplicação da matriz identidade
Quando multiplicamos uma matriz M pela matriz identidade de ordem n, obtemos como resultado a matriz M. Vejamos, a seguir, um exemplo do produto da matriz M de ordem 2 pela matriz identidade de ordem 2.
Supondo que:
Temos:
Assim, o produto de A por
Note que os termos da matriz B são idênticos aos termos da matriz A, ou seja:
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Exemplo:
Sendo M a matriz
Resolução:
Realizando a multiplicação, temos:
Exercícios resolvidos sobre matriz identidade
Questão 1
Existe uma matriz quadrada de ordem 3 que é definida por
A)
B)
C)
D)
E)
Resolução:
Alternativa D
Analisando a matriz, temos:
Então, a matriz é igual a:
Questão 2
(UEMG) Se a matriz inversa de
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Resolução:
Alternativa A
Multiplicando as matrizes, percebemos que o produto delas é igual à matriz identidade. Calculando o produto da segunda linha da matriz pela primeira coluna da sua inversa, temos:
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática