A lei dos senos é uma expressão matemática que relaciona os lados de um triângulo qualquer com seus ângulos. De acordo com esta lei, para um triângulo qualquer, a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante.
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Resumo sobre lei dos senos
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A lei dos senos é uma relação matemática entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer.
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A fórmula para a lei dos senos é asen
, em que a, b e c são os lados de um triângulo e , e são os ângulos opostos, respectivamente. -
É interessante aplicar a lei dos senos quando são conhecidos dois ângulos de um triângulo e um dos lados opostos a esses ângulos.
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Determinar o ângulo de um triângulo por meio da lei dos senos pode ser um processo inconclusivo, pois o seno obtido pode indicar dois ângulos diferentes: um agudo e um obtuso.
Videoaula sobre lei dos senos
O que é seno?
Seno é uma função trigonométrica, e seu valor depende do ângulo considerado. Podemos obter o seno de um ângulo de diferentes maneiras. No caso de um ângulo interior a um triângulo retângulo, o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
Já para ângulos superiores a 90°, o uso do ciclo trigonométrico é mais indicado. Por exemplo, sabendo que o seno de 30° vale
O que diz a lei dos senos?
Seja ABC um triângulo qualquer, com lado a oposto ao ângulo
Segundo a lei dos senos, as razões entre cada lado desse triângulo e o seno dos ângulos opostos correspondentes são iguais.
Qual é a fórmula da lei dos senos?
Em notação matemática, para um triângulo ABC com lados opostos medindo a, b e c, respectivamente, a fórmula da lei dos senos é:
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Exemplo:
Um triângulo ABC possui ângulos
Resolução:
Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180°, concluímos que
Importante: Note que não foi necessário utilizar as três razões presentes na lei dos senos para resolver o exemplo.
Demonstração e aplicação da lei dos senos
Vejamos de onde vem a lei dos senos e como aplicá-la. Para a demonstração, considere a figura auxiliar abaixo, em que o triângulo ABC é dividido em dois triângulos retângulos com um lado em comum.
Perceba que sen
Consequentemente,
Agora, vamos retornar à figura auxiliar do triângulo ABC e considerar a altura H relativa ao vértice C:
Assim, temos que sen
Consequentemente,
Combinando esse resultado com a expressão alcançada por meio da primeira figura, obtemos a lei dos senos:
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Exemplo:
Se ABC é um triângulo com
Resolução:Pela lei dos senos:
Quando se aplica a lei dos senos?
Aplicamos a lei dos senos quando sabemos a medida de dois ângulos e a medida de um dos lados opostos a esses ângulos. Imagine a seguinte situação: dado um triângulo ABC, sabemos a medida de dois lados e de um dos ângulos opostos a um dos lados. Nosso objetivo é determinar a medida do ângulo oposto ao outro lado.
Quando aplicamos a lei dos senos nesse caso, teremos o seno do ângulo procurado. No entanto, esse seno pode corresponder a dois ângulos diferentes. Considere um exemplo em que o resultado obtido foi
Lei dos senos no triângulo retângulo
Considere um triângulo retângulo ABC com catetos medindo a e b e hipotenusa c. Portanto,
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Exercícios resolvidos sobre lei dos senos
Questão 1
(UFPB — adaptado) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200 m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos
Com base nessas informações, qual a distância, em metros, do ponto A ao ponto B?
Resolução:
Como a soma dos ângulos inteiros de um triângulo é 180°, temos que
Questão 2:
(Unifor — adaptado) Qual a medida do lado AB do triângulo abaixo?
Resolução:
Aplicando a lei dos senos:
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática