A lei dos cossenos é uma expressão matemática que relaciona os três lados de um triângulo qualquer. Por não estar restrita ao triângulo retângulo, a lei dos cossenos pode ser entendida como uma generalização do teorema de Pitágoras.
Veja também: Classificação de triângulos — os critérios utilizados nos dois tipos de classificação que existem
Resumo sobre lei dos cossenos
- A lei dos cossenos é uma relação matemática entre os três lados de um triângulo qualquer.
- A fórmula da lei dos cossenos é
, em que a, b e c são os lados de um triângulo e é o ângulo oposto ao lado c. - A lei dos cossenos é aplicável quando são conhecidos os três lados de um triângulo e procura-se a medida de um ângulo ou quando dois lados e o ângulo entre eles são dados, mas busca-se o terceiro lado.
- Quando a lei dos cossenos é usada em um triângulo retângulo, a expressão resulta no teorema de Pitágoras. Portanto, a lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras.
Videoaula sobre lei dos cossenos
O que é cosseno?
Cosseno é uma função trigonométrica, e seu valor está associado a um ângulo. Existem algumas maneiras de obter o cosseno de um ângulo. Uma delas é quando o ângulo em questão é interno a um triângulo retângulo: seu cosseno será a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e à hipotenusa.
Outra forma muito útil para encontrar o cosseno de ângulos maiores que 90° é por meio do ciclo trigonométrico. Por exemplo, conhecendo o cosseno de 60°, podemos encontrar o cosseno de 120°:
O que diz a lei dos cossenos?
Considere ABC um triângulo em que a é a medida do lado oposto ao ângulo A, b é a medida do lado oposto ao ângulo B e c é a medida do lado oposto ao ângulo
Nessas condições, a lei dos cossenos determina que o quadrado de c é igual à soma dos quadrados de a e b menos o produto entre a, b e o cosseno de
Fórmula da lei dos cossenos
Em símbolos matemáticos, utilizando a nomenclatura descrita para os lados e ângulos de um triângulo ABC, podemos escrever a fórmula da lei dos cossenos:
- Exemplo:
Um triângulo possui dois lados com medidas 3 cm e 5 cm e ângulo de 135° entre esses lados. Qual a medida aproximada do terceiro lado?
Resolução:
Observe que podemos resolver esse exercício ao nomear os vértices (e consequentemente os lados e ângulos) do triângulo de maneira conveniente:
Substituindo na fórmula da lei dos cossenos:
Como
Demonstração e aplicação da lei dos cossenos
Para provar a veracidade da lei dos cossenos, considere a imagem auxiliar a seguir, formada por dois triângulos retângulos com um lado em comum:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo à esquerda, obtemos a seguinte expressão:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo à direita:
Substituindo a expressão b2=x2+h2 na expressão anterior, temos:
No triângulo à esquerda, observe que
Importante: Na imagem da demonstração anterior, o ângulo
- Exemplo:
Um triângulo possui lados de medida 5 cm, 7 cm e 8 cm. Qual a medida do ângulo oposto ao lado de 7 cm?
Resolução:
Nesse caso, se busca saber o ângulo entre os lados de 5 cm e 8 cm. Note que a situação é diferente do exemplo anterior: agora temos as medidas dos três lados, porém desconhecemos um ângulo. Pelas informações do enunciado, podemos construir o seguinte triângulo:
Perceba que chamamos de c o lado de 7 cm, pois buscamos a medida do ângulo oposto a ele. Aplicando a lei dos cossenos:
Buscamos um ângulo cujo cosseno seja igual a
Saiba mais: Lei dos senos — outra expressão matemática que permite relacionar lados e ângulos de qualquer triângulo
Quando aplicar a lei dos cossenos?
Aplicamos a lei dos cossenos em dois casos principais:
- quando são conhecidos dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, porém queremos a medida do terceiro lado;
- quando os três lados de um triângulo são conhecidos, mas queremos a medida de um dos ângulos.
Importante: Um detalhe importante na aplicação da lei dos cossenos é a nomenclatura dos lados. Caso o exercício estudado já apresente um triângulo com os nomes dos vértices e lados definidos, pode ser necessária uma breve adaptação na fórmula. Observe o exemplo a seguir.
- Exemplo:
Considere o triângulo ABC abaixo, com lados b = 12 cm, c = 20 cm e ângulo  = 120°. Qual a medida do lado a?
Resolução:
Aqui, o lado desconhecido é a, e o ângulo oposto a ele é conhecido. Perceba que podemos empregar a lei dos cossenos normalmente com o seguinte ajuste:
Substituindo os dados na fórmula:
Como
Lei dos cossenos no triângulo retângulo
Nos exemplos anteriores, aplicamos a lei dos cossenos em triângulos acutângulos e obtusângulos, mas é importante ressaltar que a lei dos cossenos também pode ser aplicada em triângulos retângulos. Veja a seguir o que acontece quando o ângulo em questão na lei dos cossenos é reto.
- Exemplo:
Considere um triângulo retângulo ABC com catetos medindo a e b, hipotenusa medindo c e
Resolução:
Aplicando a lei dos cossenos, temos que:
Como
Exercícios resolvidos sobre lei dos cossenos
Questão 1
(Unifor) Um terreno de forma triangular tem frente de 10 m e 20 m, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 120°. A medida do terceiro lado do terreno, em metros, é:
A)
B)
C)
D)
E)
Resolução:
Alternativa C
Perceba que são conhecidos dois lados do terreno triangular e o ângulo entre eles, mas buscamos o terceiro lado. Assim, podemos aplicar a lei dos cossenos:
Como
Questão 2
(UFPR) Calcule o seno do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros.
A)
B)
C)
D)
E)
Resolução:
Alternativa A
Como 8 é o maior lado do triângulo, o maior ângulo será o ângulo oposto a ele. Assim, aplicando a lei dos cossenos:
Resolvendo essa expressão, concluímos que
Note que a questão não pede a medida desse ângulo, mas sim seu seno. Utilizando a relação fundamental da Trigonometria,
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática