Inequação do 2º grau

Inequação do 2º grau é uma expressão algébrica com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2. Resolver uma inequação significa determinar qual intervalo de valores que a incógnita pode assumir para satisfazer a expressão. Outra forma de resolver uma inequação do 2° grau é analisar o gráfico da função do 2° grau associada.

Leia também: Inequação modular — expressão algébrica com desigualdade que possui uma variável dentro do módulo

Resumo sobre inequação do 2º grau

• Inequação do 2º grau é uma expressão com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2.
• Para resolvê-la, devemos obter as raízes da equação associada e analisar os sinais da incógnita para valores em cada intervalo determinado pelas raízes.
• Outra forma de encontrar a solução dela é analisar o gráfico da função associada.

O que é uma inequação do 2º grau?

Uma inequação do 2º grau é uma expressão algébrica com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2. Assim, a inequação do 2º grau apresenta um dos seguintes formatos, em que a, b e c são números reais:

Lembre-se de que os sinais <, ≤,>,≥ indicam desigualdades e significam, respectivamente, “menor”, “menor ou igual”, “maior” e “maior ou igual”.

Exemplo:

 é uma inequação do 2º grau, com a=1, b=0 e c=-4. Resolva essa inequação.

Resolução:

Resolver essa inequação é indicar quais números reais podemos substituir a incógnita x para que . Vamos testar alguns números.

• Se , temos que . Como 5 não é menor que 0, o número –3 não é uma solução para a inequação.

• Se , temos que . Como – 4 é menor que 0, o número 0 é uma solução para a inequação.
• Se , temos que . Como –3 é menor que 0, o número 1 é uma solução para a inequação.
• Se , temos que . Como 26,25 não é menor que 0, o número 5,5 não é uma solução para a inequação.

Encontramos duas soluções para a inequação, e poderíamos continuar testando números para encontrar outras. No entanto, resolver a inequação significa encontrar todas as soluções, ou seja, determinar o intervalo do conjunto solução. Vejamos, a seguir, como fazer isso.

Como resolver uma inequação do 2º grau?

Para resolver uma inequação do 2º grau, devemos seguir os seguintes passos:

• 1º passo: comparar a expressão com a equação do 2º grau correspondente.
• 2º passo: obter as raízes da equação.
• 3º passo: atribuir valores para a incógnita com base nos intervalos de números reais determinados pelas raízes da equação e avaliar quais satisfazem a inequação.

Exemplo:

Determine o conjunto solução da inequação do 2º grau .

Resolução:

Vamos analisar a equação do 2º grau correspondente:

Assim,  são as raízes da equação .

Agora vamos analisar o que ocorre na expressão  para os números reais nos intervalos definidos por –2 e 2. Lembre-se de que buscamos valores de x, em que .

• Se , tem-se que  é maior que zero.

(Testamos  anteriormente e obtemos 5 como resultado. Poderíamos atribuir outros valores para x com  e teríamos que  é maior que zero.)

• Se é menor que zero.

(Testamos  anteriormente e obtemos –4 e –3, respectivamente, como resultados. Poderíamos atribuir outros valores para x, com , e teríamos que  é menor que zero.)

• Se é maior que zero.

(Testamos  anteriormente e obtemos 26,25 como resultado. Poderíamos atribuir outros valores para x, com  é maior que zero.)

Dessa forma, o conjunto solução é

→ Outra forma de resolver uma inequação do 2º grau

Um modo mais direto de resolver uma inequação do 2° grau é analisar os sinais do gráfico da função do 2º grau à qual a inequação do 2º grau está associada. Considerando uma função do 2° grau , o gráfico desse tipo de função é uma parábola cuja concavidade está associada ao sinal de a:

• Se a>0, a concavidade é voltada para cima.
• Se a<0, a concavidade é voltada para baixo.

Exemplo:

Qual o conjunto solução da inequação ?

Resolução:

Vamos analisar a equação do 2º grau correspondente:

Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

Assim,  são as raízes da equação .

Agora considere a função . Como 2>0, o gráfico dessa função é uma parábola com concavidade para cima. Além disso, pelo que analisamos, o gráfico dessa função cruza o eixo horizontal quando x=1 e quando x=2. Assim, o comportamento dessa função próximo a esses valores é o seguinte:

Note que:

• Se x<1, tem-se que  é maior que zero.
• Se 1< x < 2, tem-se que  é menor que zero.
• Se 2 < x, tem-se que  é maior que zero

Portanto, o conjunto solução da inequação .

Veja também: Sistema de inequação do 1º grau — formado por duas ou mais inequações do 1º grau

Exercícios resolvidos sobre inequações do 2º grau

Questão 1

(Udesc) O conjunto solução da inequação  é:

A)

B)

C)

D)

E)

Resolução:

Alternativa E

Considere a equação . Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

Assim,  são as raízes da equação .

Considere . O gráfico dessa função possui a concavidade para cima e cruza o eixo horizontal em .

Portanto, os valores de x, em que , são os valores de –1 a 3, incluido .

Questão 2

(PUC) Quantas soluções inteiras a inequação  admite?

A) 2

B) 3

C) 7

D) 10

E) 13

Resolução:

Alternativa D

Considere a equação . Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

Assim,  são as raízes da equação .

Considere . O gráfico dessa função possui a concavidade para cima e cruza o eixo horizontal em x1=-5 e x2=4.

Portanto, os valores de x, em que , são os valores de – 5 a 4, incluido . Dessa forma, o conjunto com as soluções inteiras é:

Fontes

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

MINEIRO, R. M. Estudo das três dimensões do problema didático de inequações. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2019. Disponível em https://repositorio.pucsp.br/jspui/handle/handle/22984.