Identidades trigonométricas

As identidades trigonométricas são relações entre funções trigonométricas. A tangente e a identidade fundamental são os principais exemplos dessas relações, existindo, ainda, as funções secante, cossecante e cotangente.

Leia também: Transformações trigonométricas — as fórmulas que facilitam o cálculo de algumas razões trigonométricas

Resumo sobre identidades trigonométricas

• As identidades trigonométricas são igualdades que relacionam funções trigonométricas.
• Os principais exemplos de identidades trigonométricas são a tangente e a identidade fundamental.
• A tangente de um ângulo  é igual à razão entre o seno de  e o cosseno de Â, desde que cos não seja nulo.
• A identidade fundamental da trigonometria determina que a soma entre o quadrado do seno de um ângulo  e o quadrado do cosseno de  é 1.
• Outros exemplos de identidades trigonométricas são as funções secante, cossecante e cotangente.

Quais são as identidades trigonométricas?

As identidades trigonométricas são igualdades que associam funções trigonométricas. As principais são a tangente (tan) e a identidade fundamental da trigonometria:

• Tangente: a tangente de um ângulo θ é igual à razão entre o seno de θ e o cosseno de θ, em que cos θ≠0:

• Identidade fundamental da trigonometria: também conhecida como identidade de Pitágoras, estabelece uma relação entre o seno e o cosseno de um ângulo θ. De acordo com essa identidade, a soma entre  é igual a 1. Escrevendo  e , temos que:

Como aplicar as identidades trigonométricas?

Podemos aplicar as identidades trigonométricas quando, para certo ângulo θ, desconhecemos o valor de uma das funções.

• Exemplo 1

Utilizando as aproximações sen 40°≈0,643 e cos 40°≈0,766, determine o valor de tan 40° com três casas decimais.

Resolução:

Utilizando a identidade trigonométrica da tangente:

• Exemplo 2

Se θ é um ângulo do segundo quadrante e sen θ≈0,956, encontre o valor de cos θ com três casas decimais.

Resolução:

Utilizando a identidade fundamental da trigonometria:

Como θ é um ângulo do segundo quadrante, então o valor do cos θ é negativo, portanto:

Demonstrações das identidades trigonométricas

→ Demonstração da tangente

A demonstração da identidade trigonométrica  segue da definição de tangente na circunferência trigonométrica de raio 1.

Observe que as coordenadas de P são x=cos θ e y=sen θ. Por definição, , assim:

→ Demonstração da identidade fundamental da trigonometria

A demonstração da identidade trigonométrica sen² θ + cos² θ = 1 também se baseia na circunferência trigonométrica. Na imagem anterior, observe que o triângulo ABP é retângulo em B e que AB=cos θ, BP=sen θ e AP=1. Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, concluímos que:

Outras identidades trigonométricas

As funções secante (sec), cossecante (cossec ) e cotangente (cotan) também são exemplos de identidades trigonométricas:

Associando essas funções com a identidade de Pitágoras, podemos construir outras identidades trigonométricas:

Saiba mais: Aplicações trigonométricas na Física

Exercícios resolvidos sobre identidades trigonométricas

Questão 1

Considere que cos θ≠1. Assim, a expressão  é igual a qual alternativa?

A) cos θ

B) 1 + cos θ

C) sen θ

D) 1 + sen θ

E) tan θ

Resolução

Alternativa B

Reescrevendo a identidade trigonométrica fundamental, temos que . Assim:

Como , podemos reescrever o numerador:

Portanto:

Questão 2

Se sen θ≠0 e cos θ≠0, determine o valor de a=sec θ ∙ cos θ + cossec θ ∙ sen θ.

Resolução

Substituindo sec  e cossec  na expressão de a, temos que:

Logo, a=2

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática