Hipotenusa

A hipotenusa é o nome dado para o maior lado de um triângulo retângulo. Ela se encontra sempre do lado oposto ao ângulo de 90º do triângulo retângulo.

Existe uma relação importante entre a hipotenusa e os demais lados do triângulo retângulo, pois, para encontrar a medida da hipotenusa por meio da medida dos demais lados do triângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras.

Leia também: Qual é a classificação dos triângulos?

Aplicações do Teorema de Pitágoras

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Triângulo retângulo

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Resumo sobre hipotenusa

• A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo.
• A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo de 90º do triângulo retângulo.
• Os outros dois lados do triângulo retângulo são conhecidos como catetos.
• O teorema de Pitágoras é uma relação entre a medida dos catetos e a hipotenusa.
• A fórmula do teorema de Pitágoras diz que:

c² = a² + b²

• • c: hipotenusa.
  • a e b: catetos.

O que é hipotenusa?

Hipotenusa é o nome dado ao maior lado de um triângulo retângulo. A hipotenusa sempre será o lado oposto ao ângulo de 90º. O estudo da hipotenusa é fundamental para cálculos envolvendo o triângulo retângulo, seja na engenharia, seja na geometria analítica ou mesmo na trigonometria.

Regra da hipotenusa

A regra da hipotenusa é o teorema de Pitágoras, uma relação importante entre a hipotenusa e os demais lados do triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras diz que:

A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

A imagem a seguir evidencia isso:

Para saber mais sobre o teorema de Pitágoras, clique aqui.

Como se calcula a hipotenusa?

Para calcular a medida da hipotenusa do triângulo, conhecendo os catetos, basta substituir os valores conhecidos na fórmula e resolver a equação. A seguir, veja os exemplos.

• Exemplo 1:

Um triângulo retângulo possui lados medindo 6 cm e 8 cm, então sua hipotenusa medirá:

Resolução:

Sabemos que a = 6 e que b = 8, então temos que:

c² = a² + b²

c² = 6² + 8²

c² = 36 + 64

c² = 100

c = \(\sqrt{100} \)

c = 10

Logo, a medida da hipotenusa desse triângulo é 10 cm.

• Exemplo 2:

Dado o triângulo retângulo a seguir, encontre o valor de x:

Resolução:

Aplicando a regra da hipotenusa, temos que:

x² = 5² + 12²

x² = 25 + 144

x² = 169

x = \(\sqrt{169} \) 

x=13

Logo, a medida de x é 13 cm.

Cálculo dos catetos sabendo a hipotenusa

Outra aplicação interessante para o teorema de Pitágoras é quando conhecemos a medida da sua hipotenusa e de um dos catetos e não conhecemos a medida do outro cateto. Para resolver situações assim, o raciocínio é o mesmo de quando queremos encontrar o valor da hipotenusa, substituímos os valores conhecidos na fórmula e posteriormente resolvemos a equação.

• Exemplo 1:

Encontre o valor de x no triângulo a seguir:

Resolução:

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

17² = 8² + x²

289 = 64 + x²

289 - 64 = x²

225 = x²

x² = 225

x = \(\sqrt{225} \)

x = 15 m

• Exemplo 2:

Um triângulo retângulo possui hipotenusa medindo 5 metros, e um dos seus catetos mede 3 metros, então a medida do outro cateto será:

Resolução:

Seja c = 5 e a = 3, então temos que:

c² = a² + b²

5² = 3² + b²

25 = 9 + b²

25 - 9 = b²

16 = b²

b² = 16

b = \(\sqrt{16} \)

b = 4

A medida do outro cateto é de 4 metros.

Exercícios resolvidos sobre hipotenusa

Questão 1

Uma praça possui o formato retangular e suas dimensões são 25 metros por 60 metros. Qual será a distância percorrida por uma pessoa que atravessa a praça pela sua diagonal?

A) 45 metros
B) 55 metros
C) 65 metros
D) 75 metros
E) 80 metros

Resolução:

Alternativa C.

A diagonal da praça nada mais é do que a hipotenusa do triângulo retângulo, logo:

d² = 25² + 60²

d² = 625 + 3600

d² = 4225

d = \(\sqrt{4225} \)

d = 65 m

Questão 2

(IFG) Considere que o tamanho de uma televisão, dado em polegadas, corresponde ao comprimento da sua diagonal e que, no caso de televisores de tamanho normal, a largura e a altura seguem, ordenadamente, a relação 4:3. Observe a figura abaixo e considere 1 polegada = 2,5 cm.

Com relação a uma televisão plana de 40 polegadas, é correto afirmar que sua largura e sua altura são, respectivamente:

A) 60 cm e 45 cm                  

B) 80 cm e 60 cm

C) 64 cm e 48 cm                   

D) 68 cm e 51 cm

Resolução:

Alternativa B.

Sabendo que a TV tem dimensões proporcionais a 3 e 4, então utilizaremos 3x e 4x para representar os catetos. Pelo teorema de Pitágoras, temos que:

40² = (3x)² + (4x)²

1600 = 9x² + 16x²

1600 = 25x²

 = x²

64 = x²

x² = 64

x = \(\sqrt{64} \)

x=8

Se x = 8, então as dimensões em polegada são:

3x = 3 ⋅ 8 = 24

4x = 4 ⋅ 8 = 32

Convertendo para cm, temos que:

32 ⋅ 2,5 = 80

24 ⋅ 2,5 = 60

Então, as dimensões são 80 cm e 60 cm.

Fontes

IEZZI, Gelson. Matemática: Conteúdo e Métodos. São Paulo: Atual Editora, 2008.

WAGNER, Eduardo. Teorema de Pitágoras e Áreas. OBMEP, 2009. Disponível em: https://www.obmep.org.br/docs/apostila3.pdf.