Hipérbole (Geometria analítica): o que é, como fazer

A hipérbole é uma cônica, ou seja, é uma das figuras obtidas pela secção de um cone duplo de revolução. A parábola, a circunferência e a elipse são outros tipos de cônicas.

Considere dois pontos fixos, F₁ e F₂, e um número real positivo a. Todos os pontos P que satisfazem a relação abaixo compõem a hipérbole de focos F₁ e F₂:

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Resumo sobre hipérbole

• A hipérbole é uma cônica, assim como a circunferência, a parábola e a elipse.
• Dados dois pontos, F₁ e F₂, com distância 2c  e um número real positivo a, com a < c , chamamos de hipérbole o conjunto de pontos P tais que

• O ponto médio entre os focos F₁ e F₂ é chamado de centro da hipérbole.
• Se os focos F₁ e F₂ estão sobre o eixo horizontal, então a equação da hipérbole é

• Se os focos F₁ e F₂ estão sobre o eixo vertical, então a equação da hipérbole é

O que é hipérbole?

Considere F₁ e F₂ pontos fixos de distância 2c e a  um número real positivo tal que a < c . A hipérbole é o conjunto de pontos P tais que a diferença em módulo das distâncias até F₁ e F₂ seja igual a 2a. Em notação matemática, escrevemos que os pontos P da hipérbole são tais que

em que  é a distância entre P e F₁ e = é a distância entre P e F₂.

Perceba que a hipérbole é formada por dois “pedaços”, chamados de ramos. Um dos ramos contém os pontos P cuja distância aos focos é positiva, ou seja, . O outro ramo possui os pontos P cuja distância aos focos é negativa, ou seja, .

Elementos da hipérbole

Para compreender a hipérbole, é fundamental conhecer os elementos que a compõem.

• F₁ e F₂ são os focos da hipérbole.
• A₁ e A₂ são os vértices da hipérbole.
• O é o centro da hipérbole e é ponto médio do segmento F₁F₂.
• O segmento F₁F₂ é o segmento focal, e seu tamanho, de medida 2c, é chamado de distância focal. Assim,  .
• O segmento A₁A₂ é o eixo real e possui tamanho de medida 2a. Assim, .
• Os pontos B₁ e B₂ são tais que .
• O segmento B₁B₂ é o eixo imaginário (ou conjugado) e possui tamanho de medida 2b. Assim, .
• As retas pontilhadas são assíntotas à hipérbole.

Observação 1: Os segmentos com medida a, b e c podem ser relacionados pelo teorema de Pitágoras. Perceba que o triângulo  é retângulo em O com ,  e  . Assim, .

Observação 2: Note que na imagem trabalhada nesse tópico, os focos estão sobre o eixo horizontal e na imagem do tópico anterior os focos estão sobre o eixo vertical. Estes são alguns exemplos do formato de uma hipérbole, mas os focos podem ser pontos do plano cartesiano que não pertencem aos eixos x e y.

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Qual a fórmula da hipérbole?

A fórmula da hipérbole é uma expressão que descreve os pontos  da hipérbole. Essa expressão é chamada de equação da hipérbole e depende da localização dos focos.

Por uma questão de simplicidade, vamos conhecer as equações (reduzidas) da hipérbole para focos sobre o eixo vertical e horizontal.

• Caso 1: focos F₁ e F₂ sobre o eixo horizontal (eixo do x)

Nessas condições, a equação reduzida da hipérbole é

• Caso 2: focos F₁ e F₂ sobre o eixo vertical (eixo do y)

Nessas condições, a equação reduzida da hipérbole é

Como fazer uma hipérbole?

Geometricamente, a hipérbole é obtida pela secção de um cone duplo de revolução de forma paralela ao eixo.

Para que serve a hipérbole na Matemática?

Uma das aplicações da hipérbole é o uso de sua propriedade refletora em espelhos hiperbólicos de telescópios ópticos e radiotelescópios. 

Outras aplicações se relacionam com o hiperboloide. O hiperboloide é uma superfície gerada pela revolução de uma hipérbole. O hiperboloide é utilizado na construção de pequenos objetos, monumentos e instalações industriais.

Exercícios resolvidos sobre hipérbole

Questão 1

Considere  e  os focos de uma hipérbole com eixo real de medida 2. A equação reduzida dessa hipérbole é

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Resolução

Note que 2c = 4  e 2a = 2 . Assim, c = 2  e a = 1 . Como c2=a2+b2 , temos que b=3 . Logo, considerando que os focos estão sobre o eixo horizontal, temos que a equação reduzida dessa hipérbole é

Alternativa C.

Questão 2

Classifique as informações abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

I. A hipérbole é uma cônica, assim como a elipse, a circunferência e a parábola.

II. Os focos da hipérbole são pontos que pertencem aos ramos da hipérbole.

III. Considere 2c a distância entre F₁ e F₂ e a  um número positivo menor que c. O conjunto de pontos P tais que  formam a hipérbole de focos F₁ e F₂.

A ordem correta, de cima para baixo, é

a) F-F-F

b) F-V-F

c) F-V-V

d) V-F-V

e) V-V-V

Resolução

A única afirmação falsa é a II, pois os focos da hipérbole (pontos F₁ e F₂) não pertencem aos ramos da hipérbole.

Alternativa D.

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática