Hexágono é o polígono que possui 6 lados. Ele é regular quando possui todos os lados e ângulos internos congruentes entre si. É irregular quando não possui essas características. O primeiro caso é o mais amplamente estudado, pois quando o hexágono é regular, ele possui propriedades específicas e fórmulas que nos permitem calcular sua área, perímetro e apótema.
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Resumo sobre hexágono
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O hexágono é um polígono de 6 lados.
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Ele é regular quando possui todos os lados congruentes.
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É irregular quando não possui todos os lados congruentes.
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Em um hexágono regular, cada ângulo interno mede 120°.
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A soma dos ângulos externos de um hexágono regular é sempre 360°.
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Para calcular a área de um hexágono regular, utilizamos a fórmula:
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O perímetro de um hexágono é a soma dos seus lados. Quando ele é regular, temos:
P = 6L
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O apótema de um hexágono regular é calculado pela fórmula:
O que é hexágono?
Hexágono é qualquer polígono que possui 6 lados, consequentemente 6 vértices e 6 ângulos. Como se trata de um polígono, ele é uma figura plana fechada com lados que não se cruzam. O hexágono é uma forma recorrente na natureza, como nos favos de mel, em estruturas da química orgânica, nos cascos de certas tartarugas e em flocos de neve.
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Videoaula sobre polígonos
Elementos do hexágono
Um hexágono é composto por 6 lados, 6 vértices e 6 ângulos internos.
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Vértices: os pontos A, B, C, D, E, F.
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Lados: os segmentos
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Ângulos internos: os ângulos a, b, c, d, f.
Classificação dos hexágonos
Os hexágonos, assim como os demais polígonos, podem ser classificados de duas formas.
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Hexágono regular
O hexágono é regular quando ele possui todos os seus lados congruentes — consequentemente, seus ângulos também serão congruentes. O hexágono regular é o mais importante dentre todos, sendo o mais amplamente estudando. É possível calcular vários de seus aspectos, como a área, com fórmulas específicas.
Observação: O hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros, isto é, triângulos com todos os lados iguais.
→ Hexágono irregular
Hexágono irregular é aquele que possui lados com medidas diferentes. Ele pode ser convexo ou não convexo.
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Hexágono irregular convexo
O hexágono é convexo quando possui todos os ângulos internos menores que 180°.
→ Hexágono irregular não convexo
O hexágono é não convexo quando possui ângulos internos maiores que 180°.
Propriedades do hexágono
→ Número de diagonais de um hexágono
A primeira propriedade importante é que em um hexágono convexo, há sempre 9 diagonais. Podemos encontrar essas 9 diagonais geometricamente:
Também podemos encontrar as diagonais algebricamente, por meio da seguinte fórmula:
Se substituirmos 6 na equação, temos que:
Então, um hexágono convexo sempre terá 9 diagonais.
Saiba mais: Diagonal do bloco retangular — segmento que liga dois de seus vértices que não estão na mesma face
→ Ângulos internos de um hexágono
Em um hexágono, a soma dos seus ângulos internos é igual a 720°. Para realizar essa soma, basta substituir 6 na fórmula:
Em um hexágono regular, os ângulos internos sempre medirão 120° cada, pois
720° : 6 = 120°
→ Ângulos externos de um hexágono regular
Quanto aos ângulos externos, sabemos que a soma deles é sempre igual a 360°. Como há 6 ângulos externos, cada um deles medirá 60°, pois
360° : 6 = 60°
→ Apótema do hexágono regular
Considera-se apótema de um polígono regular o segmento de reta que liga o centro do polígono até o ponto médio do seu lado. Como sabemos, o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros, portanto, o apótema corresponde à altura de um desses triângulos equiláteros. O valor desse segmento pode ser calculado pela fórmula:
→ Perímetro do hexágono
Para calcular o perímetro de um hexágono, basta realizar a soma dos seus 6 lados. Quando o hexágono é regular, seus lados são congruentes, logo, é possível calcular o perímetro do hexágono por meio da fórmula:
P = 6L
→ Área do hexágono regular
Como sabemos que o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros de lado medindo L, é possível deduzir uma fórmula para o cálculo de sua área, utilizando o cálculo da área de um triângulo equilátero multiplicada por 6.
Note que é possível fazer a simplificação dividindo por 2, gerando, então, a fórmula para o cálculo da área do hexágono:
Hexágono inscrito em uma circunferência
Dizemos que um polígono está inscrito em uma circunferência quando ele está dentro da circunferência, e os seus vértices são pontos desta. Podemos representar o hexágono regular inscrito em uma circunferência. Quando fazemos essa representação, é possível verificar que o comprimento do raio da circunferência é igual ao comprimento do lado do hexágono.
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Hexágono circunscrito em uma circunferência
Dizemos que um polígono está circunscrito a uma circunferência quando a circunferência está dentro desse polígono. Podemos representar o hexágono regular circunscrito. Nesse caso, a circunferência é tangente ao ponto médio de cada um dos lados do hexágono, o que faz com que o raio da circunferência seja igual ao apótema do hexágono.
Prisma de base hexagonal
A Geometria Plana é a base para os estudos da Geometria Espacial. O hexágono pode estar presente na base de sólidos geométricos, como nos prismas.
Para descobrir o volume de um prisma, calculamos o produto entre a área da base e a altura. Como a sua base é um hexágono, seu volume pode ser calculado por:
Leia também: Volume dos sólidos geométricos — como calcular?
Pirâmide de base hexagonal
Além do prisma de base hexagonal, existem também as pirâmides de base hexagonal.
Para descobrir o volume de uma pirâmide de base hexagonal, calculamos o produto entre a área da base, a altura e dividimos por 3.
Note que multiplicamos e dividimos por três, o que possibilita uma simplificação. Então, o volume de uma pirâmide de base hexagonal é calculado pela fórmula:
Exercícios resolvidos sobre hexágono
Questão 1
Um terreno possui formato de um hexágono regular. Deseja-se cercar essa área com arame farpado, de maneira que o arame dê 3 voltas em torno do território. Sabendo que foram gastos, ao todo, 810 metros de arame para cercar todo o terreno, a área desse hexágono mede, aproximadamente:
(Use
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Resolução:
Alternativa B
O perímetro do hexágono regular é
Como foram dadas 3 voltas, para dar uma só volta foi gasto o total de 270 metros, pois sabemos que:
810 : 3 = 270
Então, temos:
Conhecendo a medida do lado, calcularemos a área:
Arredondando, obtemos:
Questão 2
(PUC - RS) Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo. O lado desse hexágono mede ______ cm.
A)
B)
C)
D)
E) 1
Resolução:
Alternativa B
Em relação ao hexágono regular, sabemos que seu apótema é a medida do centro até o ponto médio de um dos lados. Assim, o apótema é a metade da distância indicada na imagem. Logo, temos que:
O apótema é, então, igual a
Como conhecemos o valor do apótema, podemos substituir
Racionalizando a fração: