Função logarítmica

A função logarítmica é aquela que possui em sua lei de formação o logaritmo de uma variável, ou seja, . O domínio dessa função está no conjunto dos números reais positivos, sendo diferente de zero, e o contradomínio, no conjunto dos números reais. Vale salientar também que a base do logaritmo tem que ser necessariamente maior que 0 e diferente de 1.

O gráfico de uma função logarítmica pode ser crescente, quando a base for maior que 1, e decrescente, quando a base for menor que 1. Como o domínio é o conjunto dos números reais positivos e diferente de zero, o gráfico da função estará sempre nos 1º e 4º quadrantes do plano cartesiano.

Leia também: Função modular — aquela cuja lei de formação possui pelo menos uma variável dentro do módulo

Resumo sobre função logarítmica

• A função logarítmica é uma função  com lei de formação .

• Se sua base é a > 1, então a função é crescente.

• Se sua base é , então a função é decrescente.

• O gráfico da função logarítmica está sempre nos 1º e 4º quadrantes do plano cartesiano.

• A função logarítmica é a inversa da função exponencial.

Videoaula sobre função logarítmica

O que é função logarítmica?

Conhecemos como função logarítmica toda função  com lei de formação . Em sua lei de formação, a base do logaritmo representada por a deve ser um número positivo diferente de 1.

Dada a lei de formação da função, temos:

• x →  variável independente

• →  variável dependente

• a →  base do logaritmo

Vale relembrar a definição de logaritmo. O logaritmo b na base a, ou seja, , é igual ao expoente x que devemos elevar à base a que faz com que .

Temos como exemplo de função logarítmica:

Leia também: Função polinomial — a função que tem um polinômio em sua lei de formação

Domínio da função logarítmica

O domínio de uma relação entre dois conjuntos é importante para que essa relação seja classificada como uma função. A fim de que tenhamos de fato uma função logarítmica, é necessário que o domínio da função seja o conjunto dos números reais positivos e não nulos, ou seja, .

Em uma função, todo elemento do domínio deve ter necessariamente uma imagem no contradomínio. Supondo que x possa ser negativo, encontraremos alguns casos de indeterminação, como no exemplo a seguir:

 se

Não existe nenhum valor de b que faz com que , logo não há uma função, o que torna necessária essa restrição no domínio da função, fazendo com que a variável independente seja sempre um número real positivo diferente de zero.

Gráfico da função logarítmica

Na representação gráfica da função logarítmica, há dois tipos de comportamento possíveis: ou a função é crescente ou a função é decrescente. Devido às restrições existentes para o domínio da função logarítmica, o gráfico da função está localizado sempre nos 1º e 4º quadrantes. Vejamos, a seguir, representações gráficas de funções logarítmicas crescente e decrescente.

• Função logarítmica crescente

A função logarítmica é crescente quando à medida que o valor de x na função aumenta, o valor de f(x) também aumenta. Para que isso aconteça, é necessário que a base a da lei de formação  seja maior que 1, ou seja, se a > 1 → f(x) é crescente.

Exemplo:

Faremos a representação gráfica da função a seguir:

Para realizarmos a representação gráfica dessa função, calcularemos o seu valor numérico:

Como a sua base é 2, essa função é crescente, como mostra sua representação gráfica:

• Função logarítmica decrescente

Agora, faremos a representação gráfica de uma função decrescente.

Exemplo:

Calculando os valores numéricos:

Fazendo a representação gráfica:

Função logarítmica e função exponencial

O logaritmo é a operação inversa da potenciação. Sendo assim, a relação entre a função logarítmica e a função exponencial é que aquela é a função inversa desta, e vice-versa.

Considerando a função logarítmica , se trocarmos  e de lugar, encontraremos a lei de formação da função inversa:

Assim, a função inversa da função logarítmica é:

Leia também: Diferenças entre domínio, contradomínio e imagem

Exercícios resolvidos sobre função logarítmica

Questão 1

Dadas as funções  e , o valor de  é:

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Resolução:

Alternativa C

Calculando :

Logo, .

Agora, calcularemos :

Portanto:

Questão 2

(UFPR) Suponha que o tempo necessário para se tomar uma decisão esteja relacionado com o número de escolhas de que se dispõe. Nesse caso, um modelo matemático que fornece o tempo de reação R, em segundos, em função do número de escolhas N é dado pela expressão:

R = 0,17 + 0,44 log(N)

De acordo com esse modelo, quando o número de escolhas for reduzido de 100 para 10, qual será o percentual de diminuição no tempo de reação, aproximadamente?

A) 26%

B) 42%

C) 55%

D) 88%

Resolução:

Alternativa B

Primeiramente, calcularemos N = 100:

Agora, calcularemos N = 10:

Assim, o tempo de reação reduziu de 105 para 0,61.

Ao realizar a divisão de 44 por 105 para encontrar a porcentagem de redução, temos:

de redução

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática