A função injetora, conhecida também como função injetiva, é um caso particular de função. Para que uma função seja considerada injetora, temos que ter a seguinte ocorrência: dados dois elementos, x1 e x2, pertencentes ao conjunto do domínio, com x1 diferente de x2, as imagens f(x1) e f(x2) são sempre distintas, ou seja, f(x1) ≠ f(x2). Essa função possui características específicas que possibilitam a identificação do seu gráfico e também a análise da lei de formação.
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O que é função injetora?
Para construir alguns exemplos de função injetora, é importante compreender a definição desse tipo de função. Uma função f: A → B é classificada como injetora se, e somente se, elementos diferentes do conjunto A possuem imagens diferentes no conjunto B, ou seja:
Exemplo 1:
Veja a seguir um exemplo de função injetora no diagrama de Venn:
Exemplo 2:
Veja a seguir um exemplo de função não injetora. Note que, no conjunto A, existem dois elementos distintos que possuem a mesma imagem no conjunto B, o que contradiz a definição de função injetora.
Como calcular uma função injetora?
Para verificar se uma função é injetora ou não, é necessário analisar o comportamento da lei de formação e também o domínio e o contradomínio em que a função está definida.
Exemplo:
Dada a função f: R → R, com a lei de formação f(x) = 2x, verifique se ela é injetora.
Pela lei de formação, podemos observar que ela pega um número real do domínio e o transforma em seu dobro. Dois números reais distintos, ao serem multiplicados por dois, geram resultados distintos. A função f, como podemos observar, é uma função injetora, pois, para quaisquer dois valores de x1 e x2, o valor de f(x1) ≠ f(x2).
Exemplo 2:
Dada a função f: R → R, com lei de formação f(x) = x², verifique se ela é injetora.
Podemos observar que, para esse domínio, essa função não é injetora, pois temos que a imagem de um número qualquer é igual à imagem do seu oposto, por exemplo:
f( 2) = 2² = 4
f( -2 ) = (– 2) ² = 4
Note que f(2) = f ( – 2), o que contradiz a definição de uma função injetora.
Exemplo 3:
Dada a função f: R+ → R, com lei de formação f(x) = x², verifique se ela é injetora.
Note que agora o domínio são os números reais positivos e o zero. A função transforma o número real em seu quadrado; nesse caso, quando o domínio é o conjunto dos números reais positivos, essa função é injetora, pois o quadrado de dois números positivos distintos sempre vai gerar resultados distintos. Então, é muito importante lembrar que, além da lei de formação da função, precisamos analisar o seu domínio e contradomínio.
Leia também: O que é uma função inversa?
Gráfico de funções injetoras
Para identificar se o gráfico é de uma função injetora ou não, basta checar se existem dois valores de x distintos que geram o mesmo correspondente em y, ou seja, verificar a validade da definição de função injetora.
No intervalo em que vamos observar o gráfico, a função tem que ser exclusivamente crescente ou exclusivamente decrescente. Gráficos como a parábola ou o da função seno não são gráficos de funções injetoras.
Exemplo 1:
A reta crescente é o gráfico de uma função injetora. Perceba que ele é sempre crescente e que não existe valor de y que tenha dois correspondentes distintos.
Exemplo 2:
O gráfico de uma função exponencial também é o gráfico de uma função injetora.
Exemplo 3:
O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. Quando o domínio envolve os números reais, é possível perceber que existem valores de x distintos que têm o mesmo correspondente em y, como nos pontos F e G, o que faz com que esse gráfico seja de uma função que não é injetora.
Em resumo, para saber se o gráfico é ou não de uma função injetora, basta checar se a definição de função injetora vale ou não para essa função.
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (Enem 2017 – PPL) No primeiro ano do ensino médio de uma escola, é hábito os alunos dançarem quadrilha na festa junina. Neste ano, há 12 meninas e 13 meninos na turma, e para a quadrilha foram formados 12 pares distintos, compostos por uma menina e um menino. Considere que as meninas sejam os elementos que compõem o conjunto A e os meninos, o conjunto B, de modo que os pares formados representem uma função f de A em B.
Com base nessas informações, a classificação do tipo de função que está presente nessa relação é
A) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao conjunto A está associado um menino diferente pertencente ao conjunto B.
B) f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma menina pertencente ao conjunto A e um menino pertencente ao conjunto B, sobrando um menino sem formar par.
C) f é injetora, pois duas meninas quaisquer pertencentes ao conjunto A formam par com um mesmo menino pertencente ao conjunto B, para envolver a totalidade de alunos da turma.
D) f é bijetora, pois dois meninos quaisquer pertencentes ao conjunto B formam par com uma mesma menina pertencente ao conjunto A.
E) f é sobrejetora, pois basta que uma menina do conjunto A forme par com dois meninos pertencentes ao conjunto B, assim nenhum menino ficará sem par.
Resolução
Alternativa A.
Essa função é injetora, pois, para cada elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. Note que não há a possibilidade de duas meninas dançarem com o mesmo par, logo essa relação é injetora.
Questão 2 – (IME - RJ) Considere os conjuntos A = {(1,2), (1,3), (2,3)} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, e seja a função f: A → B tal que f (x,y) = x + y.
É possível afirmar que f é uma função:
A) injetora.
B) sobrejetora.
C) bijetora.
D) par.
E) ímpar.
Resolução
Alternativa A.
Analisando o domínio, temos que:
f(1,2) = 1 + 2 = 3
f(1,3) = 1 + 3 = 4
f(2,3) = 2 + 3 = 5
Note que, para quaisquer dois termos distintos do domínio, eles estão relacionados a termos distintos no contradomínio, o que torna essa função injetora.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática