Consideremos o número complexo não nulo z = p*(cosӨ + i*senӨ) e o número n Є N, dessa forma escrevemos:
zn = z*z*z*...*z ou zn = p*p*p*...*p *(cosӨ + i*senӨ)* (cosӨ + i*senӨ).... (cosӨ + i*senӨ), daí, zn = pn*[cos(Ө+Ө+Ө+...+Ө) + i*sen(Ө+Ө+Ө+...+Ө)], onde concluímos que:
zn = pn *[cos(nӨ) + i*sen(nӨ)]
Essa expressão é um recurso muito importante nas situações envolvendo a expressão (a + bi)n, caso não existisse, deveríamos usar o binômio de Newton, o que acarretaria em cálculos trabalhosos.
Obs.: para calcularmos a potência de um número complexo utilizando a 1º fórmula de Moivre, devemos escrever o complexo na sua forma trigonométrica.
Exemplo 1
Dado o complexo z = – 2 – 2i, calcule z10.
Exemplo 2
Dado o número complexo z = –1 –√3i, determine z15.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática