A equação do primeiro grau com uma incógnita é uma ferramenta que resolve grandes problemas na matemática e até mesmo no nosso cotidiano. Essas equações são provenientes de polinômios de grau 1, e sua solução é um valor que zera tal polinômio, ou seja, encontrado o valor da incógnita e substituindo-o na expressão, vamos encontrar uma identidade matemática que consiste em uma igualdade verdadeira, por exemplo, 4 = 22.
O que é uma equação do 1º grau?
Uma equação do primeiro grau é uma expressão em que o grau da incógnita é 1, isto é, o expoente da incógnita é igual a 1. Podemos representar uma equação do primeiro grau, de maneira geral, da seguinte forma:
ax + b = 0
No caso acima, x é a incógnita, ou seja, o valor que devemos encontrar, e a e b são chamados de coeficientes da equação. O valor do coeficiente a deve ser sempre diferente de 0.
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Exemplos de equações do 1º grau
Veja aqui alguns exemplos de equações do primeiro grau com uma incógnita:
a) 3x +3 = 0
b) 3x = x(7+3x)
c) 3 (x –1) = 8x +4
d) 0,5x + 9 = √81
Note que, em todos os exemplos, a potência da incógnita x é igual a 1 (quando não há número na base de uma potência, quer dizer que o expoente é um, ou seja, x = x1).
Solução de uma equação do 1º grau
Em uma equação, temos uma igualdade, a qual separa a equação em dois membros. Do lado esquerdo da igualdade, vamos ter o primeiro membro, e do lado direito, o segundo membro.
ax + b = 0
(1º membro) = (2º membro)
Para manter a igualdade sempre verdadeira, devemos operar tanto no primeiro membro como no segundo, ou seja, se realizarmos uma operação no primeiro membro, devemos realizar a mesma operação no segundo membro. Essa ideia recebe o nome de princípio da equivalência.
15 = 15
15 + 3 = 15 + 3
18 = 18
18 – 30 = 18 – 30
– 12 = – 12
Veja que a igualdade permanece verdadeira desde que operemos de maneira simultânea nos dois membros da equação.
O princípio da equivalência é utilizado para determinar o valor da incógnita da equação, ou seja, determinar a raiz ou solução da equação. Para encontrar o valor de x, devemos utilizar o princípio da equivalência para isolar o valor da incógnita.
Veja um exemplo:
2x – 8 = 3x – 10
O primeiro passo é fazer com que o número – 8 desapareça do primeiro membro. Para isso, vamos somar o número 8 em ambos os lados da equação.
2x – 8 + 8 = 3x – 10 + 8
2x = 3x – 2
O próximo passo é fazer com que 3x desapareça do segundo membro. Para isso, vamos subtrair 3x em ambos os lados.
2x – 3x = 3x – 2 – 3x
– x = – 2
Como estamos à procura de x, e não de – x, vamos agora multiplicar ambos os lados por (– 1).
(– 1)· (– x) = (– 2) · (– 1)
x = 2
O conjunto solução da equação é, portanto, S = {2}.
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Macete para a solução de equação do primeiro grau
Existe um macete decorrente do princípio da equivalência que facilita encontrar a solução de uma equação. De acordo com essa técnica, devemos deixar tudo que depende da incógnita no primeiro membro e tudo que não depende da incógnita no segundo membro. Para isso, basta “passar” o número para o outro lado da igualdade, trocando seu sinal pelo sinal oposto. Se um número é positivo, por exemplo, quando passado para o outro membro, ele se tornará negativo. Caso o número esteja multiplicando, basta “passá-lo” dividindo e assim sucessivamente.
Veja:
2x – 8 = 3x – 10
Nessa equação, temos que “passar” o –8 para o segundo membro e o 3x para o primeiro, trocando seus sinais. Assim:
2x – 3x = –10 + 8
(–1)· – x = –2 ·(– 1)
x = 2
S = {2}.
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Exemplo
Determine o conjunto solução da equação 4 (6x – 4) = 5 (4x – 1).
Resolução:
O primeiro passo é realizar a distributividade, logo:
24x – 16 = 20x – 5
Agora, organizando a equação com os valores que acompanham a incógnita de um lado e os demais no outro, vamos ter:
24x – 20x = –5 + 16
4x = 11
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Exercícios resolvidos
Questão 1 – O dobro de um número adicionado com 5 é igual a 155. Determine esse número.
Solução:
Como desconhecemos o número, vamos chamá-lo de n. Sabemos que o dobro de qualquer número é duas vezes ele mesmo, logo o dobro de n é 2n.
2n + 5 = 155
2n = 155 – 5
2n = 150
Resposta: 75.
Questão 2 – Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara. A soma das idades das duas é 44. Determine a idade de Roberta e Bárbara.
Solução:
Como não sabemos a idade de Roberta e Bárbara, vamos nomeá-las como r e b respectivamente. Como Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara, temos que:
r = b + 4
Sabemos também que a soma das idades das duas é de 44 anos, logo:
r + b = 44
Substituindo o valor de r na equação acima, temos:
r + b = 44
b + 4 + b = 44
b + b = 44 – 4
2b = 40
Resposta: Bárbara tem 20 anos. Como Roberta é 4 anos mais velha, então ela tem 24 anos.
Por Robson Luiz
Professor de Matemática