Divisão de números complexos

A divisão de números complexos é uma operação entre números na forma . Devido à estrutura desses números, a divisão entre complexos é calculada ao multiplicar-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Também é possível fazer a divisão de números complexos na forma trigonométrica.

Leia também: Como calcular a divisão de polinômios?

Resumo sobre a divisão de números complexos

• A divisão de números complexos é uma operação entre números na forma .
• Na prática, a divisão entre os números complexos  e  é calculada pelo produto do numerador e denominador na fração  do conjugado de , expresso pelo como . Portanto:

• Seja  e θ o ângulo entre o eixo horizontal (eixo real) e o segmento com extremidades em (0,0) e (a,b), a forma trigonométrica do número complexo  é:

• A divisão entre os números complexos z₁ e z₂ na forma trigonométrica é:

O que são números complexos?

Os números complexos são números formados por uma parte real e por uma parte imaginária. Se a e b são números reais e  é a unidade imaginária, então um número complexo tem a forma:

Nessa forma, a e b são reais eé a unidade imaginária. Os coeficientes a e b são chamados, respectivamente, de parte real e parte imaginária do número complexo z.

Veja, a seguir, alguns exemplos de números complexos:

Um conceito importante dos números complexos é o conceito de conjugado. Dado um número complexo , chamamos o número complexo  de conjugado de z. Utilizando a propriedade distributiva, que também é válida nesse caso, observamos que o produto entre um número complexo e seu conjugado é a soma dos quadrados dos coeficientes a e b:

Como calcular a divisão de números complexos?

Para calcular a divisão de números complexos, considere os números complexos  e . A divisão entre esses números é a razão:

Na prática, para calcular essa divisão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

Vejamos um exemplo de divisão de números complexos.

• Exemplo:

Determine a divisão entre os números complexos  e .

Resolução:

Devemos calcular o quociente de:

Como o conjugado de 3 + 2i é 3 - 2i, temos que:

Divisão de números complexos na forma trigonométrica

Para calcular a divisão de números complexos na forma trigonométrica, é preciso conhecer a forma trigonométrica de um número complexo. Dado um número complexo z = a + bi, sua forma trigonométrica é:

Nessa forma,  é o comprimento do segmento com extremidades na origem e no ponto (a,b) e θ é o ângulo entre o eixo horizontal e o segmento.

Considere dois números complexos escritos na forma trigonométrica:

A expressão da divisão entre z₁ e z₂, na forma trigonométrica, é:

• Exemplo:

Calcule a divisão entre  e .

Resolução:

Aplicando a expressão para a divisão entre números complexos na forma trigonométrica, temos que:

Veja também: Como fazer a radiciação de números complexos na forma trigonométrica?

Exercícios sobre divisão de números complexos

Questão 1

A divisão entre os números complexos  e  é igual a:

A) 1,2+1,4i

B) 1,2-1,4i

C) 1,4+1,2i

D) 1,4-1,2i

E) 1,4+1,4i

Resolução:

Alternativa D

Como , temos que:

Questão 2

Qual o quociente entre os números complexos ?

A)

B)

C)

D)

E)

Resolução:

Alternativa E

Aplicando a expressão para a divisão entre números complexos na forma trigonométrica, temos que:

Fontes

CARMO, M. P.; MORGADO, A. C.; WAGNER, E. Trigonometria Números Complexos. Coleção Professor de Matemática. São Paulo: SBM, 2005.

SILVA, F. G. L. da. Explorando as propriedades geométricas no ensino dos números complexos. Trabalho de Conclusão de Curso (Especialização em Ensino da Matemática no Ensino Médio) — Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, 2016. Disponível em: https://repositorio.ufsm.br/handle/1/19340.