A diferença de dois cubos é um caso particular de polinômios estudado na álgebra. Quando se obtém o cubo da diferença, é possível realizar a fatoração desse polinômio e reescrevê-lo como a multiplicação entre dois polinômios, o que pode auxiliar na simplificação de operações entre polinômios. Quando há a diferença entre dois cubos, é possível fatorar da seguinte maneira: x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²).
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Resumo sobre diferença de dois cubos
- A diferença de dois cubos é um caso particular de fatoração de polinômios.
- Para fatorar a diferença entre dois cubos, utiliza-se a fórmula:
x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
O que é a diferença entre dois cubos?
Na álgebra, o estudo dos polinômios possibilitou o desenvolvimento de seus casos de fatoração. Existem diversos casos de fatoração de polinômios, sendo que cada um deles é aplicado para determinada situação. A diferença entre dois cubos é, então, um caso particular de fatoração de polinômios, mas existem outros, como, por exemplo, o cubo da soma, a diferença de dois quadrados.
Fatorar um polinômio é reescrevê-lo como o produto entre dois ou mais fatores. Utilizam-se fatorações para simplificar operações envolvendo polinômios.
A diferença entre dois cubos nada mais é que a subtração entre dois monômios que podem ser reescritos como um termo elevado a cubo.
Exemplos:
-
x³ – y³
-
a³ – 1
-
8x³ – 27y³
-
64 – b³
Fórmula da diferença de dois cubos
Queremos reescrever a diferença entre dois cubos como a multiplicação de polinômios, ou seja, reescrevê-la na forma fatorada. Para isso, utilizamos a seguinte fórmula:
|
x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²) |
x→ primeiro termo
y → segundo termo
-
Demonstração da fórmula da diferença de dois cubos
Se aplicarmos a propriedade distributiva na fatoração (x – y) (x² + xy + y²), encontraremos x³ – y³.
(x – y) (x² + xy + y²) = x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³
(x – y) (x² + xy + y²) = x³ – y³
Dessa forma, podemos representar x³ – y³ como o produto (x – y) (x² + xy + y²), o que deixa demonstrada a fórmula de fatoração da diferença de dois cubos.
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Como é feita a diferença de dois cubos?
Para realizar a fatoração da diferença entre dois cubos, é necessário conseguir identificar o valor do primeiro termo e do segundo termo. Para isso, é extraída a raiz cúbica desses números.
Exemplo 1:
Faça a fatoração do polinômio 64 – 8a³.
Resolução:
Primeiramente, extrairemos a raiz cúbica de cada termo para que seja possível identificar qual é o primeiro termo e qual é o segundo. Assim, calcula-se:
Então, temos que 4 é o primeiro termo e 2a , o segundo. Substituindo na fórmula:
Realizando o cálculo das potências e a multiplicação, encontraremos a forma fatorada do polinômio:
Exemplo 2:
Fatore o seguinte polinômio:
Resolução:
Calculando a raiz cúbica de cada um dos termos, temos o seguinte:
Logo, conhecendo os primeiro e segundo termos, basta substituir na fórmula:
Agora, simplificando a expressão, encontraremos a forma fatorada do polinômio:
Videoaula sobre fatoração de expressões algébricas
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Exercícios resolvidos sobre diferença de dois cubos
Questão 1
Existem dois números, b e a, consecutivos, cujo produto entre si é igual a 15500. O valor da expressão
A) 150
B) 500
C) 1500
D) 3100
E) 2500
Resolução:
Alternativa B
Utilizando a fatoração da diferença entre dois cubos, sabemos que:
Como esses números são consecutivos, sabemos que a > b, então
Então, temos que:
Isolando as incógnitas:
Queremos o valor de:
Para isso, basta dividir 15500 por 31:
Questão 2
Simplificando a expressão
A) 3x + 2xy + 3y
B) 3(x – y)
C) 2x³ – 2y³
D) 2xy
E) x – y
Resolução:
Alternativa B
Fazendo a simplificação, obtém-se o seguinte:
Podemos fazer a fatoração do numerador. Dessa forma, encontraremos:
Note que há um fator comum, no numerador e no denominador. Logo, temos que:
Sabemos que 6 : 2 = 3, então encontraremos a expressão algébrica 3x - y.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática