Uma função do segundo grau é aquela que pode ser escrita na forma f(x) = ax2 + bx + c. Toda função do segundo grau é representada geometricamente por uma parábola, que é uma figura geométrica plana. As parábolas ligadas a funções do segundo grau possuem ponto de máximo ou ponto de mínimo. O maior candidato a um desses pontos é chamado de vértice da parábola.
Obtendo as coordenadas do vértice
As coordenadas do vértice podem ser obtidas de duas maneiras. A primeira utiliza uma das seguintes fórmulas:
xv = – b
2a
yv = – Δ
4a
Nessas fórmulas, xv e yv são as coordenadas do vértice da função do segundo grau, ou seja, V(xv, yv).
A segunda maneira de encontrar as coordenadas do vértice é a seguinte: suponha que x1 e x2 sejam as raízes de uma função do segundo grau, o ponto médio entre as raízes será a coordenada x do vértice. Sabendo disso, basta encontrar a imagem desse valor por meio da função analisada. Assim, dadas as raízes x1 e x2 de uma função f(x) = ax2 + bx + c, temos:
xv = x1 + x2
2
yv = f(xv) = axv2 + bxv + c
Essa é segunda técnica usada para demonstrar as fórmulas dadas.
Demonstração das fórmulas
Dada uma função do segundo grau qualquer f(x) = ax2 + bx + c, com raízes x1 e x2, podemos encontrar a coordenada xv calculando a média entre essas raízes. Para tanto, lembre-se de que:
x1 = – b + √Δ
2a
x2 = – b – √Δ
2a
Portanto:
Substituindo esse valor na função f(x) = ax2 + bx + c, temos:
Fazendo o mínimo múltiplo comum dos denominadores, encontramos:
Exemplo
Encontre as coordenadas do vértice da função f(x) = x2 – 16.
Usando as fórmulas, obtemos:
xv = – b
2a
xv = – 0
2
xv = 0
yv = – Δ
4a
yv = – (b2 – 4·a·c)
4a
yv = – (02 – 4·1·(– 16))
4
yv = – (– 4·(– 16))
4
yv = – (64)
4
yv = – 16
As coordenadas do vértice dessa função são V (0, – 16).
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática