A calota esférica é o sólido geométrico obtido quando uma esfera é interceptada por um plano, dividindo-a em dois sólidos geométricos. A calota esférica é considerada um corpo redondo, pois, assim como a esfera, possui forma arredondada. Para calcular a área e o volume de uma calota esférica, utilizamos fórmulas específicas.
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Resumo sobre calota esférica
- A calota esférica é um sólido geométrico obtido quando a esfera é dividida por um plano.
- Os principais elementos da calota esférica são o raio da esfera, o raio da calota esférica e a altura da calota esférica.
- A calota esférica não é um poliedro, mas sim um corpo redondo.
- Caso o plano divida a esfera ao meio, a calota esférica forma um hemisfério.
- É possível calcular o raio da calota esférica usando o teorema de Pitágoras, organizado da seguinte forma:
- A área da calota esférica pode ser calculada usando a fórmula:
- O volume da calota esférica pode ser calculado por meio da seguinte fórmula:
O que é calota esférica?
Calota esférica é o sólido geométrico obtido quando é feita uma secção da esfera com um plano. Quando cortamos a esfera com um plano, dividimos essa esfera em duas calotas esféricas. Quando dividimos a esfera ao meio, a calota esférica é conhecida como hemisfério.
Elementos da calota esférica
Em uma calota esférica, os principais elementos são o raio da esfera, o raio da calota esférica e a altura da calota esférica.
- R → raio da esfera.
- r → raio da calota esférica.
- h → altura da calota esférica.
A calota esférica é um poliedro ou um corpo redondo?
Podemos perceber que a calota é um sólido geométrico. Como possui base circular e superfície arredondada, a calota esférica é considerada um corpo redondo, que também é conhecido como sólido de revolução. Vale ressaltar que o poliedro possui faces formadas por polígonos, o que não é o caso da calota esférica, que possui base formada por um círculo.
Como calcular o raio da calota esférica?
Para calcular o comprimento do raio da calota esférica, é necessário conhecer o comprimento da altura h da calota esférica e o comprimento do raio R da esfera, pois, como podemos ver na imagem a seguir, existe uma relação pitagórica.
Note que temos um triângulo retângulo, o triângulo OO’B, com hipotenusa medindo R e catetos medindo R – h e r. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:
Exemplo:
Qual é o raio de uma calota esférica que possui altura de 2 cm, sabendo que o raio da esfera é de 5 cm?
Resolução:
Aplicando a relação pitagórica:
Como calcular a área da calota esférica?
Para calcular a área da calota esférica, é necessário conhecer a medida do comprimento do raio R da esfera e da altura h da calota. A fórmula utilizada para calcular a área dessa superfície é:
- R → raio da esfera.
- h → altura da calota esférica.
Exemplo:
Uma calota esférica foi obtida de uma esfera que possui 6 cm de raio e altura de 4 cm. Então, qual a área da superfície dessa calota esférica?
Resolução:
Calculando a área da calota esférica, temos que:
Como calcular o volume da calota esférica?
O volume da calota esférica pode ser calculado de duas maneiras. A primeira fórmula depende do raio R da esfera e da altura h:
Exemplo:
Qual é o volume de uma calota esférica obtida de uma esfera com raio de 8 cm cuja altura da calota esférica é de 6 cm?
Resolução:
Como conhecemos o valor de R e h, utilizaremos a primeira fórmula.
R = 8
h = 6
A outra fórmula de volume da calota esférica leva em consideração o raio da calota esférica r e a altura h da calota:
Exemplo:
Qual é o volume de uma calota esférica que possui raio igual a 10 cm e altura igual a 4 cm?
Resolução:
Nesse caso, temos que r = 10 cm e que h = 4 cm. Como conhecemos o valor do raio da calota esférica e da altura, utilizaremos a segunda fórmula:
Exercícios resolvidos sobre calota esférica
Questão 1
(Enem) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele vai retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade desse suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chef fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão em uma altura h, em centímetro, igual a
A)
B)
C) 1
D) 4
E) 5
Resolução:
Alternativa C
Sabemos que o diâmetro da esfera mede 10 cm, logo o seu raio é 5 cm, então OB = 5 cm.
Se o raio da secção é de exatamente 3 cm, temos que:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO =
AO = 4 cm
Portanto:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
Questão 2
Uma calota esférica possui área igual a 144π cm². Sabendo que ela possui 9 cm de raio, a medida da altura dessa calota esférica é:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 16 cm
E) 22 cm
Resolução:
Alternativa A
Sabemos que:
A altura é de 8 cm.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática