A área do cone é a medida da superfície desse sólido geométrico. Como o cone é formado por uma base circular e uma região lateral curva, sua área será a soma das áreas dessas duas regiões, chamadas, respectivamente, de área da base e área lateral.
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Resumo sobre a área do cone
- A medida da superfície do cone é a área desse corpo redondo.
- A superfície do cone é constituída por duas partes: a base e a lateral.
- Se r é o raio da base do cone, então a área da base é dada por
- Se g é a geratriz do cone, então a área lateral é dada por
- A área total do cone é dada por
Videoaula sobre a área do cone
Planificação do cone
O cone é um corpo redondo formado por uma base circular e uma lateral curva (semelhante a um funil ou chapéu de aniversário). Assim, sua planificação é composta por duas partes: um círculo e setor circular.
A imagem abaixo apresenta o processo de planificação de um cone circular reto (no qual o segmento VO é perpendicular ao plano da base). À esquerda, temos um cone de altura h, raio da base r e geratriz g. À direita temos a planificação desse cone. Perceba que a base formou um círculo de raio r, e a lateral formou um setor circular de raio g e comprimento de arco 2πr (que é o comprimento do círculo da base).
Qual a fórmula da área do cone?
Pela planificação do cone circular reto, concluímos que sua área é a soma da área da base e da área lateral.
A área da base de um cone é a área de um círculo de raio r . Portanto, a área da base Ab de um cone é dada por
Já a área lateral Al é a área de um setor circular de raio g e comprimento de arco 2πr . Como a área do setor é proporcional à área do círculo completo, podemos relacionar as respectivas áreas com os comprimentos dos arcos:
Logo, a fórmula da área do cone At é dada por
Como se calcula a área do cone?
Para calcular a área de um cone circular reto, basta substituir os dados do raio r e da geratriz g .
Uma relação importante entre os segmentos do raio r, da altura h e da geratriz g nesse tipo de cone é que os três formam um triângulo retângulo. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, temos que
Essa informação é muito útil caso a altura do cone seja conhecida mas a geratriz ou o raio não sejam conhecidos.
- Exemplo: Determine a área de um cone circular reto com 3 cm de raio da base e 4 cm de altura.
Para calcular a área desse cone precisamos da geratriz:
Logo,
Leia também: Como calcular o volume do cone
Exercícios resolvidos sobre a área do cone
Questão 1
(UFPI) Se 8π cm² é a área lateral de um cone circular reto cujo raio da base é 2 cm, então a altura desse cone, em cm, é:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
Como a área lateral é 8π cm² e r = 2 cm, então g = 4 cm, pois
Portanto,
Alternativa E.
Questão 2
(Unifor-CE – adaptado) Em um cone reto, a área da base é
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
Como a área da base é 9π cm², então r=3 cm, pois
Assim,
Alternativa A.
Fontes:
DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações – Ensino Médio. 3. ed. São Paulo: Ática, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica. 7 ed. Santos: Atual, 2013.