A área do losango é a medida de sua região interna. Uma maneira de calcular a área de um losango é determinar a metade do produto entre a diagonal maior e a diagonal menor, cujas medidas são representadas por D e d respectivamente.
Leia também: Como calcular a área de um quadrado?
Resumo sobre a área do losango
-
O losango é um paralelogramo de quatro lados congruentes e ângulos opostos congruentes.
-
As duas diagonais de um losango são conhecidas como diagonal maior (D) e diagonal menor (d).
-
Cada diagonal de um losango divide esse polígono em dois triângulos congruentes.
-
As duas diagonais do losango são perpendiculares e se cruzam em seus pontos médios.
-
A fórmula para calcular a área do losango é:
Elementos do losango
O losango é um paralelogramo formado por quatro lados de tamanhos iguais e ângulos opostos de mesma medida. No losango abaixo, temos que
Os segmentos com extremidades em vértices opostos são as diagonais do losango. Na imagem abaixo, chamamos o segmento
Propriedades das diagonais do losango
Vamos conhecer duas propriedades relacionadas às diagonais do losango.
-
Propriedade 1: Cada diagonal divide o losango em dois triângulos isósceles congruentes.
Primeiro considere a diagonal maior
Perceba que
Assim, pelo critério LLL, os triângulos PQR e PSR são congruentes.
Agora considere a diagonal menor
Perceba que
Assim, pelo critério LLL, os triângulos PQS e RQS são congruentes.
-
Propriedade 2: As diagonais de um losango são perpendiculares e se cruzam no ponto médio de cada uma.
O ângulo formado pelas diagonais
Seja O o ponto de encontro das diagonais
Observação: As duas diagonais de um losango dividem essa figura em quatro triângulos retângulos congruentes. Considere os triângulos PQO, RQO, PSO e RSO. Note que cada um possui um lado de medida l (a hipotenusa), um de medida
Veja também: Comparação e semelhança entre triângulos
Fórmula da área do losango
Seja D a medida da diagonal maior e d a medida da diagonal menor de um losango; a fórmula da área do losango é:
Vejamos, a seguir, a demonstração dessa fórmula.
De acordo com a primeira propriedade que estudamos neste texto, a diagonal
Conforme a segunda propriedade que estudamos, a base do triângulo PQS mede d e a altura mede D2. Lembre-se de que a área de um triângulo pode ser calculada por base×altura2. Logo:
Como calcular a área de um losango?
Como vimos, caso as medidas das diagonais sejam informadas, basta aplicar a fórmula para calcular a área de um losango:
Do contrário, precisamos adotar outras estratégias, considerando, por exemplo, as propriedades desse polígono.
Exemplo 1: Qual a área de losango cujas diagonais medem 2 cm e 3 cm?
Aplicando a fórmula, temos que:
Exemplo 2: Qual a área de losango cujo lado e a diagonal menor medem, respectivamente, 13 cm e 4 cm?
Pela observação da propriedade 2, as diagonais de um losango dividem esse polígono em quatro triângulos retângulos congruentes. Cada triângulo retângulo possui catetos de medida
Substituindo
Como D é a medida de um segmento, podemos considerar apenas o resultado positivo. Ou seja:
D=6
Aplicando a fórmula, temos que:
Saiba mais: Fórmulas usadas para calcular a área das figuras planas
Exercícios sobre a área do losango
Questão 1
(Fauel) Em um losango, as diagonais medem 13 e 16 cm. Qual é a medida de sua área?
a) 52 cm²
b) 58 cm²
c) 104 cm²
d) 208 cm²
e) 580 cm²
Resolução: alternativa C
Aplicando a fórmula, temos que:
Questão 2
(Fepese) Um fábrica produz peças de cerâmica no formato de um losango, cuja diagonal menor mede um quarto da diagonal maior e a diagonal maior mede 84 cm.
Logo, a área de cada peça de cerâmica produzida por esta fábrica, em metros quadrados, é:
a) maior que 0,5.
b) maior que 0,2 e menor que 0,5.
c) maior que 0,09 e menor que 0,2.
d) maior que 0,07 e menor que 0,09.
e) menor que 0,07.
Resolução: alternativa D
Se D é a diagonal maior e d é a diagonal menor, então:
Aplicando a fórmula, temos que
Como 1 cm² corresponde a
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática