Os ângulos notáveis são ângulos que comumente estão presentes em situações envolvendo razões trigonométricas. São eles os ângulos de 30º, 45º e 60º. Nesses ângulos, é comum que os valores do seno, do cosseno e da tangente sejam conhecidos e representados na tabela dos valores dos ângulos notáveis. Os ângulos notáveis nos ajudam a resolver problemas que envolvem trigonometria.
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Resumo em tópicos sobre ângulos notáveis
- Os ângulos notáveis são ângulos que aparecem recorrentemente em problemas envolvendo trigonometria.
- Os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º.
- É importante conhecer o valor do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos notáveis. De modo geral, temos que:
- sen(30°) =
sen(45°) = sen(60°) = - cos(30°) =
cos(45°) = cos(60°) = - tan(30°) =
tan(45°) = 1 tan(60°) =
- sen(30°) =
Videoaula sobre os ângulos notáveis
O que são ângulos notáveis?
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são conhecidos como ângulos notáveis por serem os ângulos mais recorrentes em situações que envolvem as razões trigonométricas. Por serem bastante recorrentes, é importante saber qual é o valor do seno, do cosseno e da tangente desses ângulos.
Valores do seno, do cosseno e da tangente
De modo geral, o seno, o cosseno e a tangente são conhecidos como razões trigonométricas —relações entre lados de um triângulo retângulo. Para compreender o valor do seno, do cosseno e da tangente, veja a imagem a seguir:
Relações de seno, cosseno e tangente de um ângulo.
Analisando a imagem, podemos afirmar que:
- O seno é a razão entre o cateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa do triângulo.
- O cosseno é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa do triângulo.
- A tangente é a razão entre o cateto oposto ao ângulo θ e o cateto adjacente a θ .
Tabela de valores dos ângulos notáveis
Como calcular os ângulos notáveis?
Para demonstrar o valor de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis, primeiro analisaremos um triângulo equilátero com a altura h a seguir:
Por Pitágoras, temos que:
Invertendo a igualdade temos que:
Considerando o triângulo AHC.
Começando pelo seno de 30º, temos que:
Agora, sobre o seno de 60º, temos que:
Mas sabemos que
Logo, temos que:
Agora, calcularemos a tangente de 30º:
Para demonstrar o seno, o cosseno e a tangente de 45º, faremos um triângulo isósceles de ângulos medindo 45º.
Por Pitágoras, temos que:
Então temos que:
Leia também: Cálculos envolvendo semelhança de triângulos
Exercícios sobre ângulos notáveis
Questão 1
(Cesgranrio) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:
A) 0,5 m
B) 1 m
C) 1,5 m
D) 1,7 m
E) 2 m
Resolução:
Alternativa B
Representando a situação, temos que:
Para calcular o valor de x, aplicaremos o seno de 30º:
Sabemos que
Questão 2
O terreno do Lucca tem o formato de um retângulo cujo lado menor mede 16 m. Sabendo que o ângulo formado entre o lado menor e a diagonal é de 60º, qual o valor que mais se aproxima da diagonal? (use √3 = 1,7)
A) 10
B) 16
C) 18
D) 24
E) 32
Resolução:
Alternativa E
Dada a diagonal AC e aplicando o cosseno de 60°, temos que: