O centro de massa é um ponto crucial para a estabilidade dos corpos, evitando que eles tombem. O centro de massa de um corpo ou de um sistema de partículas é o ponto geométrico de que podemos tratar como se toda a massa do corpo estivesse nele. O seu cálculo depende da massa e da posição das partículas.
Leia também: Afinal, o que é massa?
Resumo sobre o centro de massa
- O centro de massa é um ponto crucial para a estabilidade dos corpos, evitando que eles tombem.
- O centro de massa é o ponto calculado através da média ponderada da posição das partículas com suas massas.
- O centro de massa e o centro de gravidade coincidem em figuras e corpos geométricos regulares.
- O centro de massa, a velocidade do centro de massa e a aceleração do centro de massa são calculados através de uma média ponderada.
- A análise do centro de massa é importante para a estabilidade de tombamento.
- O centro de massa pode ser usado como um sistema de referência.
O que é centro de massa?
O centro de massa é um ponto crucial para a estabilidade dos corpos, evitando que eles tombem.
Ele pode ser definido da seguinte forma:
(...) o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.
Então, podemos compreender o centro de massa como o local que representa a posição média ponderada de toda a massa do sistema.
O centro de massa precisa ser levado em consideração nas construções de pontes, edifícios, casas, móveis, automóveis, portas, janelas; enfim, tudo aquilo que necessita de equilíbrio.
Fórmula do centro de massa
- xCM → posição do centro de massa do sistema de partículas no eixo horizontal.
- m1, m2 e m3 → massas das partículas.
- x1, x2 e x3 → posições das partículas no eixo horizontal.
- y1, y2 e y3 → posições das partículas no eixo vertical.
E
- yCM → posição do centro de massa do sistema de partículas no eixo vertical.
- m1, m2 e m3 → massas das partículas.
- x1, x2 e x3 → posições das partículas no eixo horizontal.
- y1, y2 e y3 → posições das partículas no eixo vertical.
Como calcular o centro de massa de um objeto?
Para calcular o centro de massa de um objeto ou sistema de partículas, calculamos a posição do centro de massa no eixo horizontal e depois no eixo vertical, o que nos dará um par de coordenadas correspondente ao centro de massa do objeto ou sistema.
- Exemplo:
Qual a posição do centro de massa de um sistema de partículas de 1 kg posicionado nos pontos P1 = (0,2); P2 = (1,4); P3 = (5,3)?
Resolução:
Primeiramente, calcularemos o centro de massa no eixo x:
Por fim, calcularemos o centro de massa no eixo y:
O centro de massa desse sistema de partículas está na posição (2,3).
Centro de massa x centro de gravidade
É comum confundir os termos centro de massa com centro de gravidade, mas eles não são o mesmo conceito. O centro de gravidade (ou baricentro) é um ponto fixo no corpo ou em um sistema em que temos a ação de toda a força da gravidade. Já o centro de massa é um ponto no corpo ou em um sistema que se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada nele.
Em figuras e corpos geométricos regulares como quadrados, triângulos e círculos, o centro de gravidade coincide com o centro de massa; nos demais geralmente não coincidem. Para saber mais sobre o centro de gravidade, clique aqui.
Velocidade do centro de massa
A velocidade do centro de massa pode ser dada por uma operação vetorial que relaciona o somatório do vetor quantidade de movimento de cada partícula com o somatório da massa das partículas, representada pela fórmula:
→ vetor velocidade do centro de massa do sistema de partícula. → vetor quantidade de movimento. - m → massa da partícula.
→ vetores quantidade de movimento das partículas. - m1, m2 e m3 → massas das partículas.
Ou:
→ vetor velocidade do centro de massa do sistema de partícula. - m → massa da partícula.
→ vetor velocidade - m1, m2 e m3 → massas das partículas.
→ vetores velocidade das partículas.
Aceleração do centro de massa
A aceleração do centro de massa é dada por uma operação vetorial que relaciona o somatório do vetor força de cada partícula com o somatório da massa das partículas, representada pela fórmula:
→ vetor aceleração do centro de massa do sistema de partícula. → vetor força da partícula. - m → massa da partícula.
→ vetores força das partículas. - m1, m2 e m3 → massas das partículas.
Ou
→ vetor aceleração do centro de massa do sistema de partícula. - m → massa da partícula.
→ vetor aceleração da partícula. - m1, m2 e m3 → massas das partículas.
→ vetores aceleração das partículas.
Centro de massa e estabilidade de tombamento
Através do centro de massa é possível obtermos o ângulo máximo que um corpo consegue se inclinar sem que haja o seu tombamento. Uma das maneiras para descobrirmos isso é calculando as posições do centro de massa nos eixos e depois empregando conhecimentos trigonométricos. Haverá tombamento quando a posição do centro de massa passar a sua projeção na base de apoio.
O centro de massa pode ser usado como um sistema de referência para análise dos movimentos dos corpos rígidos, corpos em sistemas isolados ou em sistemas de partículas. Ao empregarmos o centro de massa como sistema de referência temos a simplificação dos problemas físicos, já que o centro de massa passa a ser a origem do sistema de coordenadas.
Exercícios resolvidos sobre centro de massa
Questão 1
(Cesgranrio) Seis peças de um jogo de dominó estão dispostas como na figura. Dos pontos indicados (F, G, H, I, J), o que melhor localiza o centro de massa desse conjunto é:
A) F
B) G
C) H
D) I
E) J
Alternativa D.
Primeiramente, delimitaremos um eixo vertical e um horizontal na figura:
Os centros de cada bloco são: bloco 1 = (-2,1), bloco 2 = (0,1), bloco 3 = (2,1), bloco 4 = (0,3), bloco 5 = (0,5), bloco 6 = (0,7). O centro de massa no eixo x será o ponto no meio dos 3 pontos, portanto no ponto zero.
Por fim, calcularemos o centro de massa no eixo y através da sua fórmula:
Então, o centro de massa desse sistema fica no ponto (0,3), que corresponde à letra I.
Questão 2
Determine a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas de 2 kg posicionado com vetor velocidade (0,-2) e (1,-4).
A) 4 ;-0,5 m/s
B) 3 ;-0 m/s
C) 2 ;-1 m/s
D) 1 ;-2 m/s
E) 0,5 ;-3 m/s
Alternativa E.
Calcularemos a velocidade do centro de massa através da fórmula:
Fontes
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Mecânica (vol. 1). 5 ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.