O que são relações métricas no triângulo retângulo?

As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos.

Elementos do triângulo retângulo

A figura a seguir é um triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto é Â e é cortado pela altura AD:

Nesse triângulo, observe que:

• A letra a é a medida da hipotenusa;

• As letras b e c são as medidas dos catetos;

• A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo;

• A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa;

• A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa.

Teorema de Pitágoras: primeira relação métrica

O teorema de Pitágoras é o seguinte: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ele é válido para todos os triângulos retângulos e pode ser escrito da seguinte maneira:

a² = b² + c²

*a é hipotenusa, b e c são catetos.

Exemplo:

Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior mede 20 cm e o lado menor mede 10 cm?

Solução:

A diagonal de um retângulo divide-o em dois triângulos retângulos. Essa diagonal fica sendo a hipotenusa, como mostra a figura a seguir:

Para calcular a medida dessa diagonal, basta usar o teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

a² = 20² + 10²

a² = 400 + 100

a² = 500

a = √500

a = 22,36 cm, aproximadamente.

Segunda relação métrica

A hipotenusa do triângulo retângulo é igual à soma das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa, ou seja:

a = m + n

Terceira relação métrica

O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa. Matematicamente:

h² = m·n

Assim, se for necessário descobrir a medida da hipotenusa conhecendo apenas as medidas das projeções, poderemos usar essa relação métrica.

Exemplo:

Um triângulo cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 10 e 40 centímetros tem que altura?

h² = m·n

h² = 10·40

h² = 400

h = √400

h = 20 centímetros.

Quarta relação métrica

É usada para descobrir a medida de um cateto quando as medidas de sua projeção sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa são conhecidas:

c² = an

e

b² = an

Perceba que b é a medida do cateto AC, e n é a medida de sua projeção sobre a hipotenusa. O mesmo vale para c.

Exemplo:

Sabendo que a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 16 centímetros e que uma de suas projeções mede 4 centímetros, calcule a medida do cateto adjacente a essa projeção.

Solução:

O cateto adjacente a uma projeção pode ser encontrado a partir de qualquer uma dessas relações métricas: c² = am ou b² = an, pois o exemplo não especifica o cateto em questão. Assim:

c² = a·m

c² = 16·4

c² = 64

c = √64

c = 8 centímetros.

Quinta relação métrica

O produto entre a hipotenusa (a) e a altura (h) de um triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas de seus catetos.

ah = bc

Exemplo:

Qual é a área de um triângulo retângulo cujos lados possuem as seguintes medidas: 10, 8 e 6 centímetros?

Solução:

10 centímetros é a medida do maior lado, portanto, esse é a hipotenusa e os outros dois são catetos. Para encontrar a área, é necessário saber a altura, logo, usaremos essa relação métrica para encontrar a altura desse triângulo e depois calcularemos sua área.

a·h = b·c

10·h = 8·6

10·h = 48

h = 48
     10

h = 4,8 centímetros.

A = 10·4,8
       2

A = 48
      2

A = 24 cm²

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática