Sistema de equações

Consideramos um sistema de equações quando vamos resolver problemas que envolvem quantidades numéricas e que, geralmente, recorremos ao uso de equações para representar tais situações. Na maioria dos problemas reais, devemos considerar mais de uma equação simultaneamente, o que depende, dessa forma, da elaboração de sistemas.

Problemas, como a modelagem de tráfego, podem ser solucionados utilizando sistemas lineares, para isso, devemos entender os elementos de um sistema linear, quais métodos utilizar e como determinar sua solução.

Tópicos deste artigo

• 1 - Equações
• 2 - Como calcular um sistema de equações?
  • Exemplo
• 3 - Método da substituição
  • Passo 1
  • Passo 2
  • Passo 3
• 4 - Método da adição
• 5 - Classificação dos sistemas lineares
• 6 - Exercício resolvido
• 7 - Solução

Equações

Nosso estudo será em volta de sistemas de equações lineares, então, vamos entender primeiramente o que é uma equação linear.

Uma equação será dita linear quando puder ser escrita dessa forma:

a₁ ·x₁ + a₂ ·x₂ + a₃ ·x₃ +...+ a_n ·x_n = k

Em que (a_1, a_2, a_{3, ...,} a_n) são os coeficientes da equação, (x_1, x_2, x_{3, ...,} x_n) são as incógnitas e devem ser lineares e k é o termo independente.

• Exemplos

• -2x + 1 = -8 ® Equação linear com uma incógnita
• 5p + 2r =5 ® Equação linear com duas incógnitas
• 9x – y - z = 0 ® Equação linear com três incógnitas
• 8ab +c – d = -9 ® Equação não linear

Saiba mais: Diferenças entre função e equação

Como calcular um sistema de equações?

A solução de um sistema linear é todo conjunto ordenado e finito que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema. A quantidade de elementos do conjunto solução sempre é igual ao número de incógnitas do sistema.

• Exemplo

Considere o sistema:

O par ordenado (6; -2) satisfaz ambas equações, assim, ele é solução do sistema. O conjunto formado pelas soluções do sistema é chamado de conjunto solução. Do exemplo acima, temos:

S = {( 6; -2)}

A forma de escrever com chaves e parênteses indica um conjunto solução (sempre entre chaves) formado por um par ordenado (sempre entre parênteses).

Observação: Se dois ou mais sistemas possuem o mesmo conjunto solução, esses sistemas são chamados de sistemas equivalentes.

Método da substituição

O método da substituição resume-se em seguir três passos. Para isso, considere o sistema

• Passo 1

O primeiro passo consiste em escolher uma das equações (a mais fácil) e isolar uma das incógnitas (a mais fácil). Assim,

x – 2y = -7

x = -7 + 2y

• Passo 2

No segundo passo, basta substituir, na equação não escolhida, a incógnita isolada no primeiro passo. Logo,

 

3x + 2y = -7

3 (-7 + 2y) + 2y = - 5

-21 +6y + 2y =-5

8y = -5 +21

8y = 16

y = 2

• Passo 3

O terceiro passo, consiste em substituir o valor encontrado no segundo passo em qualquer uma das equações. Assim,

x = -7 + 2y

x = -7 + 2(2)

x = -7 +4

x = -3

Portanto, a solução do sistema é S {(-3, 2)}.

Método da adição

Para realizar o método da adição, devemos lembrar que os coeficientes de uma das incógnitas devem ser opostos, ou seja, ter números iguais com sinais contrários. Vamos considerar o mesmo sistema do método da substituição.

Veja que os coeficientes da incógnita y atendem nossa condição, assim, basta somar cada uma das colunas do sistema, obtendo a equação:

4x + 0y = -12

4x = -12

x = -3

E substituindo o valor de x em qualquer uma das equações temos:

x - 2y = -7

-3 - 2y = -7

-2y = -7 + 3

(-1) (-2y) = -4 (-1)

2y = 4

y = 2

Portanto, a solução do sistema é S {(-3, 2)}

Leia também: Resolução de problemas por sistemas de equação

Classificação dos sistemas lineares

Podemos classificar um sistema linear quanto ao número de soluções. Um sistema linear pode ser classificado em possível e determinado, possível e indeterminado e impossível.

→ Sistema é possível e determinado (SPD): solução única

→ Sistema possível e indeterminado (SPI): mais de uma solução

→ Sistema impossível: não admite solução

Veja o esquema:

Exercício resolvido

Questão 1 – (Vunesp) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais é:

a) 11

b) 12

c) 13

d) 17

e) 38

Solução

Vamos atribuir a incógnita x ao preço de cada lapiseira, y ao preço de cada caderno e z ao preço de cada caneta. Do enunciado, temos que:

Multiplicando a equação de cima por -2 teremos que:

Somando termo a termo, teremos que:

y = 10

Substituindo o valor de y encontrado na primeira equação, teremos que:

x + 3y + z = 33

x + 30 + z  = 33

x + z = 3

Portanto, o preço de uma lapiseira de um caderno e uma caneta é:

x + y + z = 13 reais.

Alternativa C

 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática