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Resolução de Problemas com Sistemas de Equações

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Exemplo 1

A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A?

Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido).

Cidade A = x
Cidade B = y 

x = 3y
x + y = 200 000

Substituindo x = 3y

x + y = 200 000
3y + y = 200 000
4y = 200 000
y = 200 000/4
y = 50 000
x = 3y , substituindo y = 50 000

Temos
x = 3 * 50 000
x = 150 000

População da cidade A = 150 000 habitantes
População da cidade B = 50 000 habitantes


Exemplo 2

Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?

x notas de 20 reais y notas de 5 reais

Equação do número de notas: x + y = 10
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140

x + y = 10
20x + 5y = 140

Aplicar método da substituição

Isolando x na 1ª equação
x + y = 10
x = 10 - y

Substituindo o valor de x na 2ª equação
20x + 5y = 140
20(10 – y) + 5y = 140
200 – 20y + 5y = 140
- 15y = 140 – 200
- 15y = - 60 (multiplicar por -1)
15y = 60
y = 60/15
y = 4

Substituindo y = 4
x = 10 – 4
x = 6

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Exemplo 3

Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?

Pequenos: x
Grandes: y

x + y = 8
x + 1 = 2y

Isolando x na 1ª equação

x + y = 8
x = 8 - y

Substituindo o valor de x na 2ª equação
x + 1 = 2y
(8 – y) + 1 = 2y
8 – y + 1 = 2y
9 = 2y + y
9 = 3y
3y = 9
y = 9/3
y = 3

Substituindo y = 3
x = 8 – 3
x = 5

Peixes pequenos: 5
Peixes grandes: 3

Exemplo 4

Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1.

Maior: x
Menor: y

2x + 3y = 16
x + 5y = 1

Isolando x na 2ª equação
x + 5y = 1
x = 1 – 5y

Substituindo o valor de x na 1ª equação
2(1 – 5y) + 3y = 16
2 – 10y + 3y = 16
- 7y = 16 – 2
- 7y = 14 (multiplica por -1)
7y = - 14
y = -14/7
y = - 2

Substituindo y = - 2
x = 1 – 5 (-2)
x = 1 + 10
x = 11

Os números são 11 e -2.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Equação - Matemática - Brasil Escola

Escritor do artigo
Escrito por: Marcos Noé Pedro da Silva Escritor oficial Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Resolução de Problemas com Sistemas de Equações "; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/resolucao-problemas-com-sistemas-equacoes.htm. Acesso em 28 de março de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

(VUNESP-04) Maria tem em sua bolsa R$15,60 em moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é:

A) 68.

B) 75.

C) 78.

D) 81.

E) 84.

Exercício 2

(UNIFESP-04) Numa determinada livraria, a soma dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é R$10,00. O preço do estojo é R$5,00 mais barato que o preço de três lápis. A soma dos preços de aquisição de um estojo e de um lápis é:

a) R$3,00.

b) R$6,00.

c) R$12,00.

d) R$4,00.

e) R$7,00.