Média ponderada

A média aritmética ponderada, conhecida também por média ponderada, é a média que leva em consideração o peso atribuído a cada um dos valores dos quais queremos calcular a média. Quanto maior o peso de determinado valor, maior será o impacto dele na média, tornando esses valores mais relevantes.

A média ponderada é aplicada, por exemplo, em situações que envolvem notas, ou quando há acúmulos de frequência para determinados valores. Além da média aritmética ponderada, existe a média aritmética simples, a diferença é que na segunda não são atribuídos pesos.

Para calcular a média ponderada de um conjunto de valores, calculamos o produto de cada valor pelo seu peso, somamos os produtos encontrados, e dividimos a soma pela soma dos pesos.

Leia também: Moda, média e mediana — qual é a diferença?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre média ponderada
• 2 - Videoaula sobre média ponderada
• 3 - O que é média ponderada?
• 4 - Diferença entre média aritmética simples e média aritmética ponderada
• 5 - Exercícios resolvidos sobre média ponderada

Resumo sobre média ponderada

• A média ponderada é conhecida também como média aritmética simples ponderada.

• A média é ponderada quando se atribui peso a cada um dos valores.

• O peso faz com que alguns valores tenham mais impactos no cálculo da média.

• A fórmula para calcular a média entre os valores \(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n\)  com pesos \(p_1,p_2,p_3,\ldots,p_n\) , respectivamente, é:

\(x=\frac{x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+x_3\cdot p_3+\ldots x_n\cdot p_n}{p_1+p_2+p_3+\ldots+p_n}\)

Videoaula sobre média ponderada

O que é média ponderada?

A média ponderada é um caso de média aritmética, portanto, a média ponderada é conhecida também como média aritmética ponderada. Na média ponderada, são atribuídos pesos para os valores, e esse peso faz com que determinados valores tenham maior impacto na conta.

Para calcular a média ponderada, calculamos a soma do produto entre o número e o seu peso, dividindo-a pela soma dos pesos. A fórmula para isso é a seguinte:

\(x=\frac{x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+x_3\cdot p_3+\ldots x_n\cdot p_n}{p_1+p_2+p_3+\ldots+p_n}\)

Exemplo:

Na tabela a seguir, temos o número de funcionários de uma empresa para cada cargo e seus respectivos salários:

Podemos perceber que o salário que mais se repete é o de R$ 2000, logo, ele terá um peso maior na conta, que é o peso igual a 16. Nessa situação, se quisermos calcular a média salarial dessa empresa, temos que aplicar a fórmula da média ponderada.

Assim, calcularemos a média ponderada entre os salários: 1100, 2000, 5500, 12.500, com pesos 5, 16, 3 e 1 respectivamente:

\(x=\frac{5\cdot1100+16\cdot2000+3\cdot5500+1\cdot12.500}{5+16+3+1}\)

\(x=\frac{5500+32.000+16.500+12.500}{25}\)

\(x=\frac{66.500}{25}\)

Então a média salarial dessa empresa é:

\(x=2660\)

Podemos perceber, por exemplo, que se a empresa aumentar o salário dos atendentes em um valor, o impacto na média salarial será maior do que se ela aumentar o salário dos auxiliares administrativos no mesmo valor, pois valores com peso maior impactam mais na média.

Diferença entre média aritmética simples e média aritmética ponderada

Podemos perceber que as duas são consideradas médias aritméticas. Entretanto, na média aritmética ponderada, existem os pesos para cada um dos valores que desejamos calcular a média, já na média simples, não. A diferença, em alguns casos, está na forma que calculamos a média, pois questões envolvendo média ponderada podem ser também calculadas utilizando a fórmula da média simples. No entanto, isso seria mais trabalhoso, pois, na média ponderada, podemos usar a frequência do valor como um peso. A média aritmética simples é obtida pela soma de todos os valores dividida pela quantidade de valor.

Exemplo:

Calcule a média aritmética simples dos valores:

\(1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 1,\ 4,\ 4,\ 5,\ 8,\ 8,\ 5,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3\)

Utilizando média aritmética simples, temos que:

\(x=\frac{1+2+3+1+1+4+4+5+8+8+5+2+2+2+3}{15}\)

\(x=\frac{51}{15}\)

\(x=3,4\)

Agora, utilizando média ponderada, primeiro, analisaremos a frequência de cada um dos valores:

• 1 tem peso 3.

• 2 tem peso 4.

• 3 tem peso 2.

• 4 tem peso 2.

• 5 tem peso 2.

• 8 tem peso 2.

Então temos que:

\(x=\frac{1\cdot3+2\cdot4+3\cdot2+4\cdot2+5\cdot2+8\cdot2}{3+4+2+2+2+2}\)

\(x=\frac{3+8+6+8+10+16}{15}\)

\(x=\frac{51}{15}\)

\(x=3,4\)

Note que encontramos o mesmo resultado para ambas, porém, quando temos um número de repetição muito grande de um mesmo valor, a média aritmética ponderada se torna mais conveniente.

Leia também: Como calcular a média geométrica

Exercícios resolvidos sobre média ponderada

Questão 1

A nota final de uma disciplina da faculdade é constituída por 4 critérios, sendo eles:

• apresentação do trabalho, peso 2;

• atividades feitas em casa, peso 3;

• primeira avaliação discursiva, peso 2,5;

• segunda avaliação discursiva, peso 2,5.

Se um estudante tirou na apresentação do trabalho 8 pontos; na atividade em sala, 10 pontos; na primeira avaliação discursiva, 4 pontos; e na segunda avaliação discursiva, 6 pontos, então a média obtida por esse estudante foi de:

A) 6,0

B) 7,1

C) 7,5

D) 8,2

E) 8,6

Resolução:

Alternativa B

Calculando a média:

\(x=\frac{2\cdot8+3\cdot10+2,5\cdot4+2,5\cdot6}{2+3+2,5+2,5}\)

\(x=\frac{16+30+10+15}{10}\)

\(x=\frac{71}{10}\)

\(x=7,1\)

Questão 2

A média ponderada dos números x, 5, 12, 16 — com pesos respectivamente iguais a 2, 3, 4, e 1 — é igual a 8,5. Então o valor de x é:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Resolução:

Alternativa B

Calculando a média:

\(\frac{2x+3\cdot5+4\cdot12+1\cdot16}{2+3+4+1}=8,5\)

\(\frac{2x+15+48+16}{10}=8,5\)

\(2x+15+48+16=8,5\cdot10\)

\(2x+79=85\)

\(2x=85-79\)

\(2x=6\)

\(x=\frac{6}{2}\)

\(x=3\)

Fonte

Montgomery, DC; Runger, GC. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2012 (5ª Edição).

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática